Konvergenz der Reihe k/(k+1)

28.01.2008, 15:07	skillloser	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Reihe k/(k+1) Moin! Ich möchte die Konvergenz der folgenden Reihe zeigen und den Grenzwert bestimmen. Summe k/(k+1) summe von k=1 bis unendlich Sn= 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 + ... + n-1/n S = lim Sn = lim k/(k+1) = lim (k/k) /( (k/k) + (1/k) ) = lim 1/(1+1/k) = 1 (lim mit k-> unendlich) Wenn man sich die Partialsummen ansieht, kann die Reihe logischer Weise nicht gegen 1 konvergieren. Also wo ist der wurm drin? Rechnerisch scheint mir das eigentlich alles zu stimmen! Danke schonmal im Voraus!
28.01.2008, 15:12	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Trivialkriterium: Konvergiert eine Summe ist die zugrundeliegende Folge eine Nullfolge. Umkehrung: Ist die Folge keine Nullfolge kann die Summe ncht konvergieren.
28.01.2008, 15:25	skillloser	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei meiner konvergiert aber doch die Summe und die Folge ist keine Nullfolge! Wie würdest du in diesem Fall die Konvergenz/Divergenz der Reihe zeigen? Die Berechnung von des Grenzwertes S scheint nicht der richtige weg zu sein!
28.01.2008, 15:27	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+1} \end{eqnarray}$ bestimmt, fragtest aber nach der Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k}{k+1} \end{eqnarray}$
28.01.2008, 15:33	skillloser	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die n-te Partialsumme konvergiert, so konvergiert auch die Reihe. ...und das wollte ich damit eigentlich zeigen! Offensichtlich hab ich das aber nicht getan!?
28.01.2008, 15:35	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Partialsumme kann nicht konvergieren, das ist einfach eine endliche Summe. Zur Konvergenz siehe den Tipp von Lazarus
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28.01.2008, 15:41	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wenn du mir nicht glaubst, schau dir das an: Deine Folge $\begin{eqnarray} a_k=\frac{k}{k+1} \end{eqnarray}$ geht gegen 1. Ist also insbesonders für $\begin{eqnarray} k>1 \end{eqnarray}$ größer als $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Man kann also abschätzen: $\begin{eqnarray} \sum \frac{k}{k+1} > \sum \frac{1}{2} = \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ Und das $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} \frac{n}{2} = \infty \end{eqnarray}$ gilt sollte klar sein ...
28.01.2008, 15:59	skillloser	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast mich überzeugt! Mich irriert nur folgender Satz, den mein Mathe-Dozent mal anschrieben hat: Eine Reihe heißt genau dann konvergent, wenn die Folge Sn ihrer Partialsummen konvergiert.
28.01.2008, 16:05	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt ja auch! Schau dir nochmal genau an, was Partialsummen sind...
28.01.2008, 16:40	skillloser	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich glaube, ich hab's kapiert! Ich habe oben also nicht S = lim Sn bestimmt! Da sich bei dieser Reihe S nicht so leicht berechnen lässt, könnte ich die Reihe doch mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ und so schlussfolgern, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k}{k+1} \end{eqnarray}$ ebenfalls divergent ist. Stimmt's?
28.01.2008, 16:48	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum einen, ja es ist divergent Zum Beweis: Es reicht vollkommen die Bemerkung von Lazarus aus, da muss man nichts weiter abschätzen oder eine Minorante finden.

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