Allg Lsg zu inhomogener Dgl ...

13.07.2005, 07:34

Gast505

Allg Lsg zu inhomogener Dgl ...

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe bei der ich die allg Lösung finden soll. Kann mir einer von euch sagen ob ich das richtig gemacht habe?!

y'=(x^3-x^2)y+x^2-x^3 Ich habe da einfach die Klammer ausmultipliziert und alles einmal integriert.

1/4x^4 y -1/3x^3 y +1/3x^3 -1/4x^4 +C

Aber das scheint mir alles zu einfach. Das muss doch komplizierter sein bei einer inhomogenen Dgl, oder?

13.07.2005, 07:39

Gast505

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Ups habe noch vergessen, dass die Aufgabe auch ein b) hat. Da soll man die allgemeine komplexe Lösung finden von y''+y'+2y=0

Da bin ich schon so weit gekommen:

u''+u'+2u=0 und v''+v'+2v=0 aber das ist doch jetzt nicht die allg Lösung. In meinem Buch geht es ab da leider nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir da auch noch helfen.

Schonmal vielen vielen Dank! Freude

13.07.2005, 07:50

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RE: Allg Lsg zu inhomogener Dgl ...

Zitat:

Original von Gast505
y'=(x^3-x^2)y+x^2-x^3 Ich habe da einfach die Klammer ausmultipliziert und alles einmal integriert.

1/4x^4 y -1/3x^3 y +1/3x^3 -1/4x^4 +C

Aber das scheint mir alles zu einfach.

Zu einfach um richtig zu sein? Da hast du recht, es ist nämlich falsch: Du hast nach x integriert, als wäre y eine Konstante. Ist es aber nicht, es ist $\begin{eqnarray*} y=y(x) \end{eqnarray*}$ !!!

Einfach ist es aber trotzdem, wenn du die rechte Seite mal ein wenig umschreibst:

$\begin{eqnarray*} y'=(x^3-x^2)(y-1) \end{eqnarray*}$

Und jetzt Trennung der Variablen - das kennst du doch, oder?

Die zweite Gleichung ist eine einfache lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten. Sowas löst man über den Ansatz $\begin{eqnarray*} y=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Lösung der zugehörigen charakteristischen Gleichung ist. Sagt dir das was?

13.07.2005, 08:22

Gast505

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Also das 2.kenn ich überhaupt nicht.
zu der trennung der Variablen: y'=f(x) g(y)

ist dann f(x)=(x^3-x^2) und g(y)= (y-1) ?

13.07.2005, 08:34

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So ist es. Rock

Und zur zweiten Gleichung:

Falls du gerade kein Buch dazu zur Hand hast (eigentlich müsste das in wirklich jedem Buch über gewöhnliche Differentialgleichungen stehen!) und du auch die entsprechende Vorlesung versäumt hast, dann schau dir zumindest

http://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hn...entialgleichung

an, Abschnitt "Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten".

13.07.2005, 08:35

derkoch

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zu 2)