13.07.2005, 10:11 |
Moeki |
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Klausurvorbereitung
Bitte diesen Thread nicht löschen, bzw. erst am Samstag Abend.
Am Samstag Vormittag schreiben wir eine Klausur und da ich kein TEX Programm zu Hause habe, möchte ich hier kurz eine Aufgaben reflektieren, so dass ich mir zwei Nachleseblätter erstellen kann.
Danke
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- Einige kurze Übungsaufgaben, inbesondere Beweise
Man beweise, dass für Matrizen A,B, deren Produkt definiert ist (Verkettungsbedingung erfüllt), gilt:
wzbw
Es sei eine Basis des und . Man beweise, dass wieder eine Basis ist.
homogenes Gleichungssystem, nur trivial lösbar
linear unabhängig ist eine Basis des wzbw.
Berechnen Sie für beliebige Körperelemente die Determinante!
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matriz.
Zwei Matrizen A,A' heißen ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix D mit gibt. Beweisen Sie, dass ähnliche Matrizen
gleiche Determinanten haben.
- Übersicht Rangebetrachtungen von Gleichungssystem im Hinblick auf ihre Lösbarkeit
lineares homogenes Gleichungssystem: nichttrivial lösbar, wenn RgA < n
lineares inhomogenes Gleichungssystem: lösbar, wenn RgA = Rg(A,b). eindeutig lösbar, wenn RgA = Rg(A,b) = n
- Übersicht Geometrische Anwendung + Darstellungsformen
- Skalarprodukt
Es sei V ein reeller Vektorraum. Ein reelles Skalarprodukt ist eine Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:
Symmetrie Additivität
Homogenität und und
Standardskalarprodukt
Die reelle Zahl heißt Norm von x. Der Vektor x heißt Einheitsvektor, falls seine Norm 1 ist. Eine Basis
heißt orthonomiert, falls für und für gilt.
Es seien x und y Vektoren des n-dimensionalen euklidischen Vektorraumes und |x| die Norm bezüglich des Standardskalarprodukts.
Man beweise: |x + y|² + |x - y|² = 2|x|² + 2|y|²
Ist die folgende Funktion ein Skalarprodukt?
Nein, weil die Additivität ()nicht gilt. (Gegenbeispiel)
- Orthonomiertes Vektorensystem (Beispielaufgabe)
Man überprüfe die lineare Unabhängigkeit des Systems von Vektoren des und
berechne aus B ein orthonormiertes Vektorensystem.
Rang = 3 3 linear unabhängige Vektoren, Unabhängigkeit des Systems b
Ich habe jetzt also meine paarweise orthogonale Vektoren
Nach Division durch den jeweiligen Betrag erhalte ich die Einheitsvektoren und somit die orthogonalisierte Basis?
- Übersicht Abbildungen
Abbildungsmatrix
Abbildungsmatrix
Abbildungsmatrix =
Abbildungsmatrix
- Eigenwerte- und Vektoren (man brauch eigentlich nur die beiden Formeln)
Zitat: |
Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren von .
.
ist.
liefert uns die quadratische Gleichung. Nullstellenberechnung liefert uns und .
|
- Algebren, Äquivalenz- und Kongruenzrelationen
- Beweise und Definitionen für Homomorphismen (eventuell Beispielaufgabe)
- Sonstiges
f heisst genau dann injektiv, wenn:
(f ist eineindeutig oder umkehrbar eindeutig)
f heisst genau dann surjektiv, wenn: (f bildet auf ab)
f heisst bijektiv, falls surjektiv und injektiv
Eine Äquivalenzrelation R in einer Menge M ist eine binäre Relation in M, die folgende Eigenschaften erfüllt.
R ist reflexiv:
R ist symmetrisch:
R ist transitiv:
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13.07.2005, 20:24 |
iammrvip |
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Warum soll denn dein Theard gelöscht werden
Nur ins richtige Forum habe ich ihn verschoben
Rob. (in seiner ersten Funktion als Mod *freu*) |