Gram-Schmidt und Dreiecksmatrizen

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt und Dreiecksmatrizen
Hallo,

Ich soll zu der Matrix

eine orthogonale Matrix Q und eine obere Dreiecksmatrix R bestimmen mit .

Da stehe ich mal wieder ziemlich auf dem Schlauch.

Die prinzipielle Vorgehensweise beim Gram-Schmidt-Verfahren ist mir bekannt, denke ich. Vorab: Als Basis muss ich hier doch einfach die Spalten meiner Matrix A nehmen, oder?

Aber wie bringe ich das mit der zweiten Bedingung in Einklang? Die Dreiecksmatrix muss ich ja irgendwie unabhängig von A erstellen, oder? Q leite ich ja aus A selber her... wie bekomme ich aber dann R?

Ich habe ja und damit , bzw., da Q ja die Orthodingsbumsmatrix von A ist, auch . Bei letzterem habe ich keine Ahnung, ob das eventuell weiter hilft, aber diese Gesetzmäßigkeit bei solchen Matrizen habe ich gerade finden können...

Kann mir jemand etwas helfen? smile
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Identität hilft tatsächlich. Wende auf die Spalten von das Gram-Schmidtsche-Orthonormalisierungsverfahren an; das sind dann die Spalten von . Sodann kannst du berechnen.
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal,

okay, ich habe jetzt ein Q ermittelt... bin mir aber irgendwie noch unsicher wegen der blöden Zahlen teilweise...

mag sich das auch noch mal jemand anschauen?



Kann das hinkommen? verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Orthonormal, nicht Orthogonal. Die dritte Spalte stimmt nicht.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Oha... aber dann stimmen die ersten beiden doch auch nicht, oder?

Dann muss ich doch die erste Spalte normieren, dann die zweite Spalte orthogonaliseren, dann diese wieder normieren, und so weiter, oder? Da kommen ja bereits beim zweiten irrsinnig große Zahlen raus, weil das Skalarprodukt so groß ist...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Die ersten beiden stimmen, wenn du sie noch nachträglich normierst.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... jetzt bin ich etwas verwirrt... die ersten beiden Spalten kann ich einfach noch nachträglich normieren, und bei der dritten ist noch etwas anderes falsch, sagst du?

Worauf muss ich dann denn noch achten? smile

Ich habe die ersten beiden Spalten nochmal normiert. Damit bin ich jetzt soweit:

Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Für die dritte Spalte habe ich nun .

Das stinkt ja geradezu nach "falsch"...

verwirrt

Edit: Die ist auch noch nicht mal normiert. Dann wird's ja noch konfuser...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Ich habe die ersten beiden Spalten nochmal normiert. Damit bin ich jetzt soweit:



Die erste Spalte ist nicht normiert: . Wenn man richtig rechnet, erhält man für die dritte Spalte - nach einer Normierung also . Dass das keine schönen Zahlen sind entspricht dem Wesen der Numerik Big Laugh
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Mist, ich habe mit der Norm multipliziert, anstatt zu dividieren...

Danke dir, ich hoffe mal, dass das jetzt klappt.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die erste Spalte ist nicht normiert: .


Wenn ich das richtig sehe, ist diese Bedingung, die du an die erste Spalte geknüpft hast, für die derzeitige zweite Spalte doch auch überhaupt nicht erfüllt, oder?

Die hatte ich auch ebenfalls falsch berechnet, da ich auch da den orthogonalisierten Vektor mit der Norm multipliziert hatte, anstatt zu dividieren.

Bin da jetzt etwas verwirrt...

Für die erste Spalte habe ich jetzt jedenfalls . Stimmt das denn nun wenigstens? Obige Bedingung ist hierbei jedenfalls erfüllt...

Edit: Kann man die Darstellung solcher Spaltenvektoren mit lauter Brüchen auch irgendwie verschönern? Das geht so ja echt mal gar nicht...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Zitat:
Die erste Spalte ist nicht normiert: .


Wenn ich das richtig sehe, ist diese Bedingung, die du an die erste Spalte geknüpft hast, für die derzeitige zweite Spalte doch auch überhaupt nicht erfüllt, oder?

Die hatte ich auch ebenfalls falsch berechnet, da ich auch da den orthogonalisierten Vektor mit der Norm multipliziert hatte, anstatt zu dividieren.


Richtig, die zweite Spalte war auch nicht normiert.

Zitat:
Original von Mulder
Für die erste Spalte habe ich jetzt jedenfalls . Stimmt das denn nun wenigstens? Obige Bedingung ist hierbei jedenfalls erfüllt...

Edit: Kann man die Darstellung solcher Spaltenvektoren mit lauter Brüchen auch irgendwie verschönern? Das geht so ja echt mal gar nicht...


Ja, so stimmt das. Schöner sieht aus.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Wie geht es nun eigentlich weiter?

Wenn ich einfach und multipliziere, erhalte ich ja keine obere Dreiecksmatrix. Das aber ist ja Vorraussetzung. Das steht ja im Moment mit der gefundenen Matrix im Widerspruch...

verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Wie geht es nun eigentlich weiter?

Wenn ich einfach und multipliziere, erhalte ich ja keine obere Dreiecksmatrix.


Ich schon Big Laugh
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Also, sofern eine obere Dreiecksmatrix das ist, wofür ich sie halte, nämlich eine Matrix, die unterhalb der Diagonalen nur Nulleinträge hat, verstehe ich nun endgültig gar nichts mehr. verwirrt

Also, müsste doch nun, nach dem Normieren der zweiten Spalte, so aussehen:



Wenn ich die nun transponiere, erhalte ich:



Wie soll das eine obere Dreiekcsmatrix ergeben? Soo viele Nulleinträge erhalte ich da nicht... verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Man erhaelt R auch direkt aus dem vorher durchgefuehrten Gram-Schmidt-Verfahren.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Original von WebFritzi
Man erhaelt R auch direkt aus dem vorher durchgefuehrten Gram-Schmidt-Verfahren.


hmm, das hilft mir im Moment nicht so richtig weiter. verwirrt

Ich hab grad was im Netz gefunden, demzufolge die Einträge unterhalb der Diagonalen einfach gleich 0 sind. Die Begründung dafür entzieht sich mir allerdings völlig. Ich habe wohl die Begrifflichkeit der Orthonormalbasis noch nicht so verinnerlicht.

Welche Eigenschaft muss ich mir da denn zu Nutze machen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Hallo,

Zitat:
Original von WebFritzi
Man erhaelt R auch direkt aus dem vorher durchgefuehrten Gram-Schmidt-Verfahren.


hmm, das hilft mir im Moment nicht so richtig weiter. verwirrt


Das mag sein. Aber die Eintraege im berechneten R (= Q^T A) sollten dir bekannt vorkommen. Also, wenn du es dann berechnet hast, meine ich.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... verwirrt

Also für habe ich:

Speziell in der dritten Zeile kommt mir da eigentlich ziemlich wenig bekannt vor. Oder aber ich habe mich verrechnet...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast dich verrechnet, denn R muss eine obere Dreiecksmatrix sein.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt aber, ja? verwirrt

Eigentlich dachte ich, eine simple Matrizenmultiplikation würde meine Fähigkeiten nicht sprengen... naja, ich versuch's mal weiter...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schnall's nicht...

"Unten links" sollte es doch auch 0 werden. Wie soll das gehen?

Dort steht bei meiner Rechnung:



Was zum ***** mache ich denn da falsch?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den Mehrfachpost jetzt, aber ich muss das nochmal wieder aktualisieren, da mir dies ziemlich wichtig ist, den Bonuspunkt für die Klausur würde ich morgen gerne noch einsacken. smile

Ich habe das nämlich nochmal komplett durchgerechnet, was aber an den Ergebnissen nichts geändert hat. unglücklich
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Mit



gilt

Und .


Gruß, therisen
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah, jetzt sehe ich den Fehler... da war beim Eintrag bei mir ein Minus, das da gar nicht hingehörte... Finger1

Vielen Dank dir, therisen. Freude
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