Aufgabe char. Polynom & Eigenwerte |
| 13.07.2005, 16:17 | mckayser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Aufgabe char. Polynom & Eigenwerte Ich habe folgendes Problem mit einer unserer Übungsaufgaben für eine Klausur: Es ist die Matrix gegeben, wo wir beweisen sollen, dass das char. Polynom ist. Das ist mir auch gelungen und ich muss nun prüfen, ob ein Eingenwert ist und alle Eigenwerte bestimmen. Gehe ich recht in der Annahme, dass ich nun eine Polynomdivision machen muss mit "char.Polynom" durch "lambda -2" ?? Und wie bekomme ich dann den weiteren Eigenwert heraus? Außerdem sollen in Teil b) für den Eigenwert alle Eigenvektoren sowie eine Basis des Eigenraums bestimmt werden. Da noch ein Vergleich der algebraischen und geometrischen Vielfachheit für den o.g. Eigenwert... 
Was zur Hölle denn noch alles... ? 
Naja mal ehrlich, wäre froh wenn mir jemand da ein Paar Tipps und Hilfen geben könnte... Greetz, mckayser |
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| 13.07.2005, 16:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eigenwerte sind die nullstellen des char. polynoms wie testest du am einfachsten, ob 2 also ein eigenwert ist? sobald du weißt, aha 2 ist eigenwert, kannst du poldiv durch (lambda-2) machen restliche nullstellen findest du durch mitternachtsformel dann |
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| 13.07.2005, 16:33 | mckayser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Keine Ahnung, indem ich die Nullstellen ausrechne / errate? Aber wie rechne ich die Nullstellen aus? Und was ist die Mitternachtsformel?? |
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| 13.07.2005, 16:38 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Will dir nicht zu nahe treten, aber bevor du dich mit Eigenwerten beschäftigst, solltest du schon aus eigener Kraft herausfinden was eine Nullstelle ist. Sollen etwa andere für dich studieren? 
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| 13.07.2005, 17:24 | mckayser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja danke, das leuchtet mir jetzt so halbwegs ein. Am Ende der Poldiv durch bleibt mir dann als Ergebnis. Gehe ich recht in der Annahme, dass der zweite Eigenwert dann 1 ist?? Und wie komme ich jetzt auf Eigenvektoren und Basis des Eigenraumes?? Soweit ich weiss ist die geometrische Vielfachheit auch die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert. Ich habe diese Formel für die Eigenvektoren, aber was will sie mir sagen? Heisst das, dass der Vektor ein Eigenvektor ist, der bei Multiplikation mit als Ergebnis 0 ergibt? Und wie kann ich sowas errechnen? Greetz, MC Kayser |
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| 13.07.2005, 17:46 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
erstmal zu den eigenwerten: wenn du EINMAL durch (x-2) polynomdividierst, kommst sicher nicht -x-1 raus, sondern ein polynom 2. grades und -x-1=0 wird nicht von x=1 gelöst 
für die eigenvektoren musst du in deiner formel natürlich lambda durch den entsprechenden eigenwert ersetzen |
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| 13.07.2005, 18:12 | mckayser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja sorry da hab ich mich vertippt, da kam natürlich raus. Und das dann mit pq ergibt bei mir also 1, -1 Ist das so etwas richtiger? -1² - 1 = 0 macht doch in etwa Sinn, und 1² - 1 = 0 auch... Erscheint mir zumindest so, man könnte fast sagen "ich habe etwas verstanden"... oder nicht? 
Greetz, MC Kayser |
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| 13.07.2005, 18:40 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
-1²-1=-1-1=-2 -(-1)²-1=-1-1=-2 passt nicht |
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| 13.07.2005, 19:50 | Sephiroth | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich frage mich wie du auf das char.Polynom dann gekommen bist. Eigenvektor heißt nur Ax = lambda*x Gleichung umgestellt und du erhälst (A-lambda*E)x = 0 |A-lambda*x| = char.Polynom Also welcher Vektor wird auf ein Vielfaches von sich selbst angeblidet? Dazu muss die Determinante ungleich null sein denn Ansonsten gäbe es nur eine eindeutige Lösung und zwar den Nullvektor. Jetzt hast du schon die nötigen lambdas berechnet. Jetzt brauchst du nur noch lambda einsetzen wie du erkannt hast. Dann hast du ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten und drei Gleichung das du lösen kannst. Achtung natürlich keine Eindeutige Lösung! |
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