Verschoben! Formel für den Schwerpunkt (vekotren)

28.01.2008, 19:37

nwa

Formel für den Schwerpunkt (vekotren)

Hi,

ich wende ungern formeln an die ich nicht versteh, deshalb wärs überaus freundlich wenn mir jemand folgende grandiose Formel erklähren würde:

1/2 * (a+b+c)

abc sind vektoren, ich bekomm das mim latex noch net ganz auf die reihe, sry...

Mit dieser Formel soll man angeblich sofort den Schwerpunkt eines Dreiecks bestimmen können und ich wüsste halt gernmal wieso.

Thx im vorraus
greetz

28.01.2008, 19:39

nwa

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ehm, ich hab mich vertippt.

1/3*(a+b+c)

ich weis... ich weis... ich sollte mich registrieren um das zu editen. Nu ists zu spät... sry...

28.01.2008, 19:49

ushi

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Siehe Skizze...

Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Er teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1.

$\begin{eqnarray*} P_2^{'} \end{eqnarray*}$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} P_1P_3 \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} x_2^{'}=\frac {x_1+x_3}2\qquad \qquad y_2^{'}=\frac {y_1+y_3}2 \end{eqnarray*}$

Für die Seitenhalbierende $\begin{eqnarray*} P_2P_2^{'} \end{eqnarray*}$ gilt weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac {\overrightarrow{P_2S}}{\overrightarrow{SP_2^{'}}}&=\frac 21=2=\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac {x_2+\lambda x_2^{'}}{1+\lambda }=\frac {x_1+x_2+x_3}3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_S=\frac {y_2+\lambda y_2^{'}}{1+\lambda }=\frac {y_1+y_2+y_3}3 \end{eqnarray*}$

28.01.2008, 20:18

riwe

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Zitat:

Original von ushi
Siehe Skizze...

Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Er teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1.

$\begin{eqnarray*} P_2^{'} \end{eqnarray*}$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} P_1P_3 \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} x_2^{'}=\frac {x_1+x_3}2\qquad \qquad y_2^{'}=\frac {y_1+y_3}2 \end{eqnarray*}$

Für die Seitenhalbierende $\begin{eqnarray*} P_2P_2^{'} \end{eqnarray*}$ gilt weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac {\overrightarrow{P_2S}}{\overrightarrow{SP_2^{'}}}&=\frac 21=2=\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac {x_2+\lambda x_2^{'}}{1+\lambda }=\frac {x_1+x_2+x_3}3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_S=\frac {y_2+\lambda y_2^{'}}{1+\lambda }=\frac {y_1+y_2+y_3}3 \end{eqnarray*}$

da bin ich aber froh, dass ich kein moderator bin unglücklich

28.01.2008, 20:22

ushi

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???

28.01.2008, 20:51

riwe

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Zitat:

Original von ushi
???

a) setzt du ja (teilweise) voraus, was zu zeigen ist.

b) wie ist denn eine division durch einen vektor definiert verwirrt

Zitat:

......
$\begin{eqnarray*} \frac{\overrightarrow{P_2S}}{\overrightarrow{SP^\prime}_2} =2 \end{eqnarray*}$
....

......

na gott sei dank, bin ich kein moderator unglücklich

28.01.2008, 20:58

ushi

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das sind keine vektoren, sondern richtungsbehaftete Strecken. entschuldige bitte meine nachlässigkeit. es geht hier ausschließlich um das verhältnis der längen. man kann es ja in betragsstriche setzen, wenn man es als vektor haben will.

28.01.2008, 21:08

riwe

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Zitat:

Original von ushi
das sind keine vektoren, sondern richtungsbehaftete Strecken. entschuldige bitte meine nachlässigkeit. es geht hier ausschließlich um das verhältnis der längen. man kann es ja in betragsstriche setzen, wenn man es als vektor haben will.

na das is aber eine neue drollige definition, die man fast auch als definition einer tautologie auffassen könnte unglücklich

aber was soll´s

n.s. google kennt das auch nicht, O-ton google:

Meinten Sie (tatsächlich): "richtungsbehaftete strecken"
keine einträge unter dieser nummer unglücklich

aber danke, da habe ich wieder was gelernt

28.01.2008, 23:56

riwe

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damit ich auch was sinniges beitrage. verwirrt

voraussetzung: der schwerpunkt S teilt die schwerelinie (auf österreichisch: seitenhalbierende) im verhältnis $\begin{eqnarray*} \quad{ }t=2:1 \end{eqnarray*}$
(was mit einem geschlossenen vektorzug oder dem strahlensatz verwirrt

leicht zu zeigen ist)

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}_b=\vec{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AM}_b=\overrightarrow{OM}_b-\vec{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{s}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}_b=\overrightarrow{OM}_b \end{eqnarray*}$

alles einsetzen ergibt

$\begin{eqnarray*} \vec{s}=\frac{2}{3}(\vec{b}+\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{b}))+\frac{1}{3}\vec{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{s}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \end{eqnarray*}$

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