[Ana1] Differenzierbarkeit, Stetigkeit

28.01.2008, 21:09	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
[Ana1] Differenzierbarkeit, Stetigkeit Hi Leute, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich mich über einen Kommentar zu meinem Lösungsversuch freuen würde: http://img295.imageshack.us/img295/4117/51eq8.png (a) Für $\begin{eqnarray} x \not=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig, da sie Komposition und Produkt stetiger Funktionen ist. In $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ erfüllt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ - kriterium. Beweis: Zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \delta:=\varepsilon \end{eqnarray}$ . Dann folgt aus $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|=\|x\|< \delta \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\|=\|f(x)-f(0)\|=\| x \cdot \sin {\left( \frac{1}{x} \right) } - 0 \|=\| x \cdot \sin { \frac{1}{x} } \|= \|x\| \cdot \| \sin { \frac{1}{x} } \| \leq \|x\|< \delta= \varepsilon \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ insgesamt stetig (b) Für $\begin{eqnarray} x \not=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar, da sie Komposition und Produkt stetiger Funktionen ist (Ketten- und Produktregel). Für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} h \not=0 \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} \|\sin{x}\|\leq 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} \lim \limits_{h \to 0}\frac {f(0+h)-f(0)}{h}=\lim \limits_{h \to 0}\frac {h^2 \cdot \sin{\left( \frac{1}{h} \right)}-0}{h}=\lim \limits_{h \to 0} h \cdot \sin{\frac{1}{h}}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist also differenzierbar, aber $\begin{eqnarray} \frac{ \dd f}{\dd x} \end{eqnarray}$ ist nicht stetig, denn für $\begin{eqnarray} x \not=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \frac{ \dd f}{\dd x}=2x \sin{\left( \frac{1}{x} \right)} - \cos{\left( \frac{1}{x} \right)} \end{eqnarray}$ Der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim \limits_{ h \to 0} \cos{\left( \frac{1}{x} \right)} \end{eqnarray}$ existiert aber nicht, deswegen ist $\begin{eqnarray} \frac{ \dd f}{\dd x} \end{eqnarray}$ nicht stetig. Vilen Dank für eure Hilfe im Voraus
28.01.2008, 21:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
am ende solltest du statt $\begin{eqnarray} h \to 0 \end{eqnarray}$ natürlich $\begin{eqnarray} x \to 0 \end{eqnarray}$ schreiben. und dass $\begin{eqnarray} \cos \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ für x gegen 0 keinen grenzwert hat, kannst du noch genauer begründen, indem du eine nullfolge $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ angibst, für die $\begin{eqnarray} \cos \frac{1}{x_n} \end{eqnarray}$ offensichtlich (siehe auch den hinweis, was du verwenden darfst) divergiert. sonst ist alles richtig
28.01.2008, 21:46	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine antwort das mit dem h und x war ein flüchtigkeitsfehler, du hast recht! als folge biete ich $\begin{eqnarray} x_n= \frac{1}{n \cdot \pi} \end{eqnarray}$ an. ist die ok?
28.01.2008, 21:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die ist wunderbar. 2 häufungspunkte --> kein grenzwert.
28.01.2008, 21:55	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für deine hilfe, tmo!

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