Unterraum

Neue Frage »

28.01.2008, 22:31	seppsarep	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum Es sei F eine 3x2 Matrix und H := {A $\begin{eqnarray} \in R^{2x4} \end{eqnarray}$ : FA = 0}. Untersuchen sie ob H ein Unterraum des Vektorraumes aller 2x4-Matrizen ist. ich hab garkeine ahnung wie ich das angehen soll, ich weiß dass: F + F2 element H und lambda*F auch element H sein muss, aber weiß nich wie ichs anfangen soll
28.01.2008, 22:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst Du wirklich, dass man das Lesen kann? $\begin{eqnarray} F \in \mathbb R^{3 \times 2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H:=\{A \in \mathbb R^{2 \times 4}~\|~FA = 0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U \subseteq M^{2 \times 4} \end{eqnarray}$ Was gilt es also zu prüfen? http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#...raumeigenschaft Nicht leer. Abgeschlossen bzgl. Matrizenaddition Abgeschlossen bzgl. Skalarmultiplikation
28.01.2008, 22:40	seppsarep	Auf diesen Beitrag antworten »
ja tut mir leid, aber ich weiß echt nicht wie ich anfangen soll
28.01.2008, 22:49	seppsarep	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich probiers ma ich brauch doch zumindest zwei Matrizen: $\begin{eqnarray} H_1 \in M_{2x4} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H_2 \in M_{2x4} \end{eqnarray}$ oder
28.01.2008, 22:54	seppsarep	Auf diesen Beitrag antworten »
d.h doch $\begin{eqnarray} H_1 = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H_2 = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn ich beide Addiere sind sie noch 2x4 Matrizen, und wenn ich sie Skalar Mult. sind sie auch noch 2x4 Matrizen, wäre es damit bewiesen ? mich stört die H - Definition mit FA = 0
28.01.2008, 22:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das einfachste Element, dass in einem Raum liegen muss, ist die Nullmatrix. Schauen wir uns die Elemente einmal genauer an. $\begin{eqnarray} FA= \begin{pmatrix}f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \\ f_{33} & f_{34} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \end{pmatrix} \stackrel{!}= \begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eine Matrix A mit lauter Nullen erfüllt diese Bedingung wohl. Damit ist H nicht leer. Nun nehmen wir an, wir haben 2 Matrizen in H gegeben. Dann gilt: $\begin{eqnarray} FA_1 = 0,~\quad FA_2 = 0 \end{eqnarray}$ Was gilt dann für die Summe? $\begin{eqnarray} F(A_1+A_2) =FA_1 + FA_2 = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray}$
Anzeige

28.01.2008, 23:02	seppsarep	Auf diesen Beitrag antworten »
aber die Nullmatrix hat ja die Dimension (3,4) aber soll UR des $\begin{eqnarray} M_{2x4} \end{eqnarray}$ sein
28.01.2008, 23:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Falsch. Das ist die rechte Seite von FA=0. A steht auf der Linken. Da gibt es aber ein "A=0" mit" F0=0."
28.01.2008, 23:09	seppsarep	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das hab ich verstanden aber $\begin{eqnarray} FA_1 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} FA_2 = 0 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A_1 = A_2 = NULLMATRIX \end{eqnarray}$ ist, d.h. wir würden 2x die Selben Matrizen verwenden oder ?
28.01.2008, 23:14	seppsarep	Auf diesen Beitrag antworten »
oder ist mit A_2 eine andere Matrix gemeint bei der FA=0 auch zutrifft, wenn ja hätt ichs verstanden
28.01.2008, 23:17	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Im Punkt 1 können wir die konkrete Matrix A=0 als Element von H angeben. In 2 nehmen wir an, dass wir 2 Matrizen A1 und A2 haben, die in H liegen. Im worst-Case Fall sind die gleich A1=A2=0. Aber sie können auch davon verschieden sein. Das wissen wir nicht. Wir wissen nur, dass gilt FA1 = 0 und FA2 = 0. Draus folgt mit den Rechenregeln für die Summe der beiden Matrizen F(A1+A2) = FA1 + FA2 = 0 + 0 = 0 Somit liegt (A1+A2) wieder in H und H ist bzgl. M-Addition abgeschlossen.

Neue Frage »

Antworten »

Unterraum

Verwandte Themen