Vollständige Induktion

29.01.2008, 11:06

sclaren

Vollständige Induktion

Hallo,

Ich steh grad irgendwie aufm Schlauch und weiß nicht, wie ich folgende Formel mittels volltst. Induktion beweisen kann:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:

Die maximale Anzahl der Stücke, in die Ebene von n Geraden zerlegt wird, ist

$\begin{eqnarray*} S_n=\frac{1}{2}(n^2+n+2) \end{eqnarray*}$

Ich hab überhaupt keinen Durchblick wie ich hier ansetzen muss.

Bei allen anderen Aufgaben waren 2 Formeln gegenübergestellt, da war es kein Problem

z.B.
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Aber wie mache ich dass, wenn wie hier nur 1 Formel angegeben wird?

Vielen Dank schon mal

29.01.2008, 11:24

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollsttändige Induktion
Ganz einfach wie immer. Augenzwinkern

IA (n=1): Klar, da können höchstens 2 Stücke entstehen - stimmt also.

IV: Die Behauptung gelte für eine gewisse natürliche Zahl n.

IS: ...

29.01.2008, 11:33

sclaren

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, ich blicks immer noch nicht.

wenn ich in die eine Formel 1 einsetze, dann habe ich doch nur einen Teil? Womit muss ich den vergleichen? DIeser erste Schritt, der fehlt mir. Die Behauptung an sich Augenzwinkern

a = b, ich hab aber nur b und keine (für mich klare) Aussage über a

Selbst in den Büchern die ich angeschaut habe, ist für a immer etwas gegeben

29.01.2008, 11:55

Michael1988

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollsttändige Induktion

Zitat:

Original von sclaren
Die maximale Anzahl der Stücke, in die Ebene von n Geraden zerlegt wird

So gesehen ist das hier Dein "a". Es ist nur dieses Mal nicht durch Formeln ausgedrückt, sondern in einem Satz.
Versuche doch einfach mal mit der Vermutung, wie sie Dual Space gepostet hat, den Induktionsschritt anzufangen - was du da generell zeigen sollst ist Dir doch klar?

29.01.2008, 12:00

sclaren

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

was du da generell zeigen sollst ist Dir doch klar?

wahrscheinlich ist genau das mein Problem Augenzwinkern

Zumindest in diesem Fall

29.01.2008, 12:10

Michael1988

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine die allgemeine Vorgehensweise beim Induktionsschritt:
(1) Du nimmst an, dass die zu beweisende Aussage für ein "n" gelte (Induktionsvermutung).
(2) Dann entwickelst du aus dieser Annahme eine Formel für den darauf folgenden Fall "n+1" (Hier musst Du etwas überlegen - Aber da kommst Du drauf Freude

).
(3) Und schließlich zeigst Du, dass die in (2) hergeleitete Formel genau der zu beweisenden Aussage entspricht, wenn Du in letzterer "n+1" einsetzen würdest.

29.01.2008, 12:26

sclaren

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal schauen

Wir sind also beim Induktionsschritt:

(1) IV : $\begin{eqnarray*} S_n=\frac{1}{2}(n^2+n+2) \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} S_{n+1}=\frac{1}{2}((n+1)^2+(n+1)+2) \end{eqnarray*}$

(3) ist mir hier nicht ganz klar. Wenn ich in die Formel n+1 einsetze, dann habe ich doch schon(2). Oder mein (2) ist falsch, allerdings ist mein n+1 doch der darauf folgende Fall

Wo ist mein Denkfehler Augenzwinkern

29.01.2008, 12:31

Michael1988

Auf diesen Beitrag antworten »

(1) ist korrekt.
Bei (2) hast Du die zu beweisende Aussage aus (1) genommen und einfach "n+1" eingesetzt - Das darfst Du aber nicht. Denn in (1) wird ja nur voraus gesetzt, dass die Aussage für EIN ganz bestimmtes "n" gilt, z.B. die "1" aus dem Induktionsschritt gilt. Du musst hier irgendeinen anderen Weg finden, wie du auf die Zahl der Stücke bei "n+1" kommen kannst, wenn du die Zahl der Stücke bei "n" kennst (1).
Tipp: Mach Dir doch bei deinen Überlegungen mal die eine oder andere Skizze und probier mal ein bisschen mit verschiedenen "n" rum - Dann kommst Du bestimmt auf die Formel ...
Das Einsetzen von "n+1" geschieht erst ganz am Ende von (3), wenn Du zeigst, dass deine Formel aus (2) genau damit übereinstimmt.

29.01.2008, 13:23

sclaren

Auf diesen Beitrag antworten »

1+(1+2+3+...+n+(n+1)) ?

29.01.2008, 13:40

sclaren

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, versuchen wirs nochmal Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} S_{n}=\frac{1}{2}(n^2+n+2) = 1+1+2+3+...+n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_{n+1}=1+1+2+3+...+n+(n+1) = S_n + (n+1) \end{eqnarray*}$

Zu Zeigen ist also:

$\begin{eqnarray*} S_{n+1}= S_n + (n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_{n+1}= \frac{1}{2}(n^2+n+2)+(n+1) = \frac{1}{2}((n+1)^2+(n+1)+2) \end{eqnarray*}$

29.01.2008, 13:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sclaren
Zu Zeigen ist also:

$\begin{eqnarray*} S_{n+1}= S_n + (n+1) \end{eqnarray*}$

Das ist die eine Sache. Du mußt aber auch begründen, warum n+1 weitere Stücke entstehen, wenn du n Geraden hast und eine weitere Gerade noch hinzukommt.

29.01.2008, 14:39

sclaren

Auf diesen Beitrag antworten »

mir gehts erstmal nur darum, ob ich den Ansatz jetzt verstanden habe und das so stimmt Augenzwinkern

Danke

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion

Verwandte Themen