Eigenraumbasen

14.07.2005, 18:01

Snooper

Eigenraumbasen

Hallo..habe mal wieder eine Frage für euch...-.

Aufgabe: Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A:= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und berechnen Sie für jeden Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums.

Lösung:P_A(x) =det (A-x*E_n)=det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-x & 1 & 0\\ 0 & 1-x & 0 \\ 4 & 2 & 1-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da habe ich nach der ditten Spalte entwickelt=(1-x)*(3-x)*(1-x)=>mein charackteristisches polýnom.

meine eigenwerte sind doch dann:x=1 und x=3 richtig??

so dann berechne ich die eigenraumbasen erst für x=1,also setze ich x=1 in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-x & 1 & 0\\ 0 & 1-x & 0 \\ 4 & 2 & 1-x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und bekomme dann so eine Zeilenstufenform $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

dazu das Gleichungssystem: 2x1+x2=0
dan habe ich für x1= -x2/2, für x2 setzte ich s ein und für x3 doch null!

dann habe ich sowas $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -s/2 \\ s \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =s* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . ist das richtig??

14.07.2005, 18:46

bleichgesicht

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vielleicht ne blöde frage, aber wo sind die 4 und die 2 in der matrix hin ... besser gesagt wareum wurden die mit 0 ersetzt?

14.07.2005, 19:46

Snooper

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habe ne zeilenumformung gemacht.von er ausgansmatrix habe ich die erste zeile mit -2 multipliziert und zu der dritten addiert

14.07.2005, 19:54

phi

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moin, Snooper, jep sieht gut aus. mach einfach die Probe: M´x=o.

14.07.2005, 21:47

Snooper

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welche matrix meinst du mit M'????

14.07.2005, 22:40

phi

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RE: Eigenraumbasen
Ähm, ich meinte A´ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

15.07.2005, 23:36

Snooper

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RE: Eigenraumbasen
hast recht die probe funktioniert auch smile

16.07.2005, 22:52

phi

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Als 2. Probe kannst du die Orginalmatrix A mal deinen Eigenvektor nehmen, dann muss gelten

Ax=kx mit Eigenwert k.

16.07.2005, 22:59

Snooper

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so genau weiss jetzt nicht was du meinst??reicht denn nicht die eine probe aus??

17.07.2005, 00:08

phi

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Ax=kx ist doch die Definition von Eigenwerten/vektoren.

Ich find diese Probe besser, da bei der anderen immer viele Nullen im Spiel sind und evt. auch Fehler durch erstere Probe "übersehen" werden könnten.

Ist mir nur neulich entfallen.

17.07.2005, 00:17

Snooper

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also A ist dann meine erste matrix was in der aufgabe steht das dann mal x und das ergebnis muss mit k*x übereinstimmen meinst du das

okay die formel zeigt mir auch dass mein ergebnis stimmt smile

17.07.2005, 00:19

phi

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Ja.

17.07.2005, 03:16

e2-e4

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wenn du die probe zum eigenwert 1 machst siehst du :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ a \end{pmatrix}=1* \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nur ein teil der Lösungsmenge von A*x=1*x

edit: latex-Code verbessert (du hast ein "\" vergessen). (MSS)

17.07.2005, 13:30

fire

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hab mal versucht das zu korrigieren:

Zitat:

Original von e2-e4
wenn du die probe zum eigenwert 1 machst siehst du :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ a \end{pmatrix}=1* \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nur ein teil der Lösungsmenge von A*x=1*x

17.07.2005, 14:12

phi

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Ja schon, aber für die Basis des Eigenraums braucht man ja nur einen Repräsentanten.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre auch ein Kanditat, eigentlich auch der Beste, da man dann den Parameter a ganz weglassen kann.

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