lim sup (a_n*b_n)

29.01.2008, 15:06	Shadowoflucifer	Auf diesen Beitrag antworten »
*lim sup (a_nb_n)** ich soll beweisen, dass für eine konvergente Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n > 0 \end{eqnarray}$ und einer beschränkten Folge $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_n >0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} lim sup (a_nb_n) = lim (a_n)lim sup (b_n) \end{eqnarray}$
29.01.2008, 17:41	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
du könntest in 2 schritten vorgehen: 1. du zeigst: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty}(a_n \sup_{m\geq n}b_m) = aB \end{eqnarray}$ , wobei a der limes von a_n und B der limes superior von b_n ist. das folgt allerdings direkt aus den grenzwertätzen, falls du die benutzen darfst. 2. du zeigst $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty}(a_n \sup_{m\geq n}b_m) = \lim_{n\to \infty} \sup_{m\geq n}a_mb_m \end{eqnarray}$ , also, dass $\begin{eqnarray} c_n := a_n \sup_{m\geq n}b_m-\sup_{m\geq n}a_mb_m \end{eqnarray}$ eine nullfolge ist.
29.01.2008, 19:58	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du weißt, dass limsup das Maximum aller Grenzwerte konvergenter Teilfolgen ist, dann ist der Beweis ganz einfach.

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