Untersuchen einer Reihe auf Konvergenz

29.01.2008, 19:18

aRo

Untersuchen einer Reihe auf Konvergenz

Hi!

Komme bei dieser Reihe auf keinen grünen Zweig:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{n-1}{n!} \end{eqnarray*}$

Zu erst einmal möchte ich gerne zusammenfassen, welche Tricks es gibt, einen konkreten Grenzwert einer Reihe zu bestimmen, sofern er denn exisitert:

1) Eine geschlossene Form der Summe finden, speziell die geometrische Summenformel
2) Teleskopsumme
3) Partialbruchzerlegung und dann auf eins der anderen Verfahren hoffen Augenzwinkern

Das wars eigentlich auch schon, was wir gesehen haben und auch mir einfällt.

Bei der vermeintlich einfachen obigen Reihe komme ich jedoch auf keine Anwendung der 3 oben beschriebenen Verfahren.
Jemand Ergänzungen / einen Tipp?

Danke.

29.01.2008, 19:22

Mathespezialschüler

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Nunja, ob es nun immer die geometrische Reihe sein muss oder eines der anderen Verfahren, die du nennst. Man kann ja auch einfach Grenzwertsätze anwenden ...

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n-1}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}~\left(\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}\right) \end{eqnarray*}$ .

29.01.2008, 19:23

tmo

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4) die Ähnlichkeit der gegebenen Reihe mit der Exponentialreihe entdecken Augenzwinkern

29.01.2008, 19:32

aRo

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danke für deinen Tipp tmo. Wir haben zwar die Exponentialreihe noch nie gesehen, aber die werde ich mir morgen mal anschauen.
Ein kurzes drüberfliegen hat jedenfalls noch nicht gereicht, mir den Zähler klar zu machen Augenzwinkern

29.01.2008, 20:31

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von aRo
Ein kurzes drüberfliegen hat jedenfalls noch nicht gereicht, mir den Zähler klar zu machen Augenzwinkern

Was meinst du denn damit? Und selbst wenn du die Exponentialreihe, auf die du übrigens auch kommst, wenn du meinen Tipp anwendest, noch nicht kennst, so kannst du doch schon ihre Konvergenz beweisen (z.B. mithilfe des Quotientenkriteriums).

29.01.2008, 20:40

Tomtomtomtom

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Wenn ich deinen Tipp anwende, sehe ich aber eher ne Teleskopreihe, mit der man den Reihenwert sogar explizit ausrechnen kann. Oder hab ich mal wieder ein Brett vorm Kopf?

29.01.2008, 23:25

aRo

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@Mathespezialschüler:
vielleicht habe ich das nicht ausdrücklich genug gesagt. Ich suche einen konkreten Grenzwert und dafür ist das Quotientenkriterium ja nun mal leider nicht zu gebrauchen.

@Tomtomtomtom:
Du hast recht. Der Grenzwert ist 1 Augenzwinkern

Hatte sich also doch die Teleskopreihe dahinter versteckt und ich habe es nicht gesehen.

Mit der Exponentialreihe sähe das so aus?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~ \frac{n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty~ \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt,
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} e^{n^{1/n}}=\sum_{n=0}^\infty~ \frac{n}{n!}=e^1 \end{eqnarray*}$

und für den zweiten Teil analog. Kommt mir etwas komisch vor, auch wenn das richtige rauskäme...

29.01.2008, 23:35

Tomtomtomtom

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Nene so geht das nicht, das x muß schon eine feste Zahl sein und unabhängig von dem n. Was er wahrscheinlich meint ist, daß x^n>n für n>n_0, wenn man ein genügend großes x wählt. Damit kannst du gegen die Exponentialreihe als Majorante abschätzen, aber natürlich nichts konkretes ausrechnen.

29.01.2008, 23:35

Mathespezialschüler

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Ob nun Teleskopreihe oder Differenz zweier Reihen, ist ja nun fast egal. Augenzwinkern

Aber ich gebe zu, dass der Weg über die Teleskopreihe etwas elementarer ist. Hab ich auch nicht gesehen.

Zitat:

Original von aRo
Mit der Exponentialreihe sähe das so aus?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~ \frac{n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty~ \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt,
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} e^{n^{1/n}}=\sum_{n=0}^\infty~ \frac{n}{n!}=e^1 \end{eqnarray*}$

Das kommt dir zurecht komisch vor. Denn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist in dieser Reihe ein fester, nicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängiger Wert. Du darfst also nicht einfach eine Folge dafür einsetzen. Es muss schon eine reelle Zahl sein.
Was ich ursprünglich andachte, war:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n-1}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n}{n!}-\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{(n-1)!}-\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!}-\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n!}=\operatorname e-(\operatorname e-1) \end{eqnarray*}$ .

Aber dass das tatsächlich eigentlich viel zu umständlich ist, sieht man ja schon an dem vorletzten Term.

29.01.2008, 23:36

Lazarus

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Ich würde es nicth noch extra subsitutieren.
Einfach direkt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~ \frac{n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty~ \frac{n}{n!} =\sum_{n=0}^\infty~ \frac{1}{(n-1)!}=... \end{eqnarray*}$

30.01.2008, 13:46

aRo

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mir ist aufgefallen, dass wir das mit der Exponentialreihe natürlich hätten wissen können, da wir die ja relativ einfach über die Taylorformel hätten herleiten können. Naja.

Was mich jetzt verwirrt ist, wie man darauf kommt, dass:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{1}{(n-1)!} = \sum_{n=0}^\infty~ \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ gilt...

30.01.2008, 13:59

klarsoweit

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Da wurde doch nur der Laufindex verschoben. Schreibe doch mal die Summanden jeweils hin.

30.01.2008, 14:05

aRo

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ach klar.... Finger1

30.01.2008, 15:23

system-agent

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n-1}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n}{n!}-\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

Das solltest du aber Rückwärts aufschreiben, denn die Grenzwertsätze sagen, dass wenn man zwei konvergente Folgen hat, dass dann auch die Summe der Folgen konvergiert, aber welchen benutzt du, wenn du diese Richtung gehst?

Das soll nur heissen, dass du vielleicht statt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ zuerst $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ oder sowas schreiben solltest, und erst danach dann $\begin{eqnarray*} N\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachtest...

30.01.2008, 18:34

Mathespezialschüler

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Ich ging davon aus, dass das klar ist. Ich hatte es in meinem ersten Beitrag ja auch schon einmal angedeutet:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nunja, ob es nun immer die geometrische Reihe sein muss oder eines der anderen Verfahren, die du nennst. Man kann ja auch einfach Grenzwertsätze anwenden ...

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n-1}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}~\left(\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}\right) \end{eqnarray*}$ .

Und ob ich $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=a \end{eqnarray*}$ schreibe, ist ja nun wirklich egal. Wichtig ist, dass die beiden Reihen auf der rechten Seite konvergieren und da habe ich jjetzt mal stillschweigend vorausgesetzt, dass das jeder sieht.

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