Ableitung n-ter Wurzel(x^2 +1)

29.01.2008, 20:39

Klappergrasmuecke

Ableitung n-ter Wurzel(x^2 +1)

Hi Leute, ich soll zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[n]{x^2+1} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x^2-x-1}{x-2} \end{eqnarray*}$ (Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne die Zwei)

zweimal differenzierbar sind und die ersten beiden Ableitungen bilden.

Wäre echt cool, wenn jemand kurz meine Überlegungen überfliegen würde:

Lemma: $\begin{eqnarray*} n(x)= \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar.
Beweis: Die Funktion $\begin{eqnarray*} u(x)=x^n \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar. Daher ist die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} n(x)= \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ auch differenzierbar.

(a) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar, weil es Komposition, Produkt und Summe von differenzierbaren Funktionen ist. Die Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} f^{'}(x)=\frac{2x} {n \cdot (x^2+1)^{\frac{n-1}{n} }}=\frac{2x}{n \cdot (x^2+1)\dot(x^2+1)^{-\frac{1}{n} }}=\frac{1}{n} \cdot \frac{2x}{x^2+1} \cdot \sqrt[n]{x^2+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{'} \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar, weil es Komposition, Produkt und Summe von differenzierbaren Funktionen ist. Dei Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} f^{''}(x)= \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{2x^2+2-2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \cdot \sqrt[n]{x^2+1} + \frac{4x^2}{x^2+1)^2} \cdot \sqrt[n]{x^2+1} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n} \cdot \sqrt[n]{x^2+1} \cdot \left( \frac{2x^2+2}{(x+1)^2} \right) \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar, weil es Komposition, Produkt und Summe von differenzierbaren Funktionen ist. Dei Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} g^{'}(x)=\frac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1) \cdot 1}{(x-2)^2}= \frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g^{'} \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar, weil es Komposition, Produkt und Summe von differenzierbaren Funktionen ist. Dei Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} g^{''}(x)= \frac{(2x-4)(x-2)^2 - (x^2-4x+3)2(x-2)}{(x-2)^4}= \frac{(2x^2-4x-4x+8)-(2x^2-8x+6)}{(x-2)^3}=\frac{2}{(x-2)^3} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus smile

29.01.2008, 23:47

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Klappergrasmuecke
Beweis: Die Funktion $\begin{eqnarray*} u(x)=x^n \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar. Daher ist die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} n(x)= \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ auch differenzierbar.

Das ist, so wie es da steht, falsch. $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (diese Variable ist übrigens für diese Funktion eher ungünstig) ist aber in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar und für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ gar nicht erst definiert (mit Ausnahme von ungeradem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , da ist das Auslegungssache).

30.01.2008, 13:17

WebFritzi

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Ja, du musst hier ganz besonders auf die Definitionsbereiche aufpassen. Dann kannst du deine Saetze ueber Verkettung, Summe und Produkt differenzierbarer Funktionen anwenden. Beachte, von wo und wohin jede der "Teilfunktionen" abbildet. Versuche dabei mit offenen Intervallen zu arbeiten. Dann machst du garantiert nichts falsch.

30.01.2008, 17:36

Klappergrasmuecke

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danke für die antworten smile

wenn ich $\begin{eqnarray*} u(x)=x^n \end{eqnarray*}$ mit dem definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ wähle. dann ist der wertebereich wieder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ . Und der Wertebreich von $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ ist gerade der definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} a(x)=\sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ (habe den namen mal geändert). geht das so?

und bei $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[n]{x^2+1} \end{eqnarray*}$ ist der wertebereich der inneren funktion $\begin{eqnarray*} i(x):=x^2+1 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ . dieser wertebereich führt dann bei der äußeren funktion $\begin{eqnarray*} a(x)=\sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ zu keinen problemen.

ist das ordentlich argumentiert?

30.01.2008, 17:39

WebFritzi

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Wenn du in IR+ die Null nicht dazuzaehlst, ist es so richtig. Und zwar deswegen, weil dann alle verwendeten Funktionen diffbar sind auf ihren Definitionsbereichen.

30.01.2008, 18:15

Klappergrasmuecke

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ok, danke

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