Differenzenquotient einer gebrochen-rationalen Funktion

15.07.2005, 15:37

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

Differenzenquotient einer gebrochen-rationalen Funktion

Hallo, ich komme einfach nciht mehr drauf, wie ich den Diffenrenzequotient dieser gebrochen-rationalen Funktion ermitteln kann.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x-1}{x-3} \end{eqnarray*}$

die allgemeine formel dafür lautet ja:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x\pm h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

aber wie mache ich das jetzt noch bei meiner funktion? muss ich sowohl im zähler als auch im nenner das h ergänzen? falls ja dann kommt bei mir aber nen ziemlich komischer wert raus.

kann mir da bitte jemand einen tipp geben?

15.07.2005, 15:48

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo brunsi!
Das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ kannst du weglassen, weil $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass h sowohl von unten als auch von oben gegen 0 geht!
Aber warum machst du es nicht mit Quotientenregel?
Wenn du unbedingt mit dem Differentialquotienten arbeiten sollst, dann los: Erstmal einsetzen, du schreibst einfach überall, wo $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steht ein $\begin{eqnarray*} x+h \end{eqnarray*}$ und dann hast du $\begin{eqnarray*} f(x+h) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{2(x+h)-1}{(x+h)-3}-\frac{2x-1}{x-3}}{h} \end{eqnarray*}$

Und jetzt bist du dran! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

15.07.2005, 15:54

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde dann nun den hauptnenner der brüche im zähler bilden und dann mit h multiplizieren um den doppelbruch aufzulösen:

Hauptnenner:
$\begin{eqnarray*} (x-3+h)(x-3)=x^2-6x+h-3h+9 \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{[(2(x+h)-1)*(x-3)]-[(2(x+h)-1)*(x-3+h)]}{x^2-6x+h-3h+9}*h \end{eqnarray*}$

edit: jetzt kann ich den zähler ncoh zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2+2xh-5x-6h+3+2x^2-5x+2hx-3-}{x^2-6x+h-3h+9}*h \end{eqnarray*}$

15.07.2005, 15:57

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

du darfst hinten nicht *h machen .. musst * h^-1 machen.
$\begin{eqnarray*} \frac { \frac{a}{b}} {c} = \frac {a}{b} * c^{-1} = \frac {a}{bc} \end{eqnarray*}$
ansonsten halt ausrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

viel spass !

servus

15.07.2005, 16:00

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

doch darf ich @Lazarus, das ist nen doppelbruch vorher und dann muss ich den um zwei brüche zu multiplizieren den bruch des nenners umkehren.

edit: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{b}: \frac{1}{c}=\frac{a}{b}*\frac{c}{1} \end{eqnarray*}$

15.07.2005, 16:04

swerbe

Auf diesen Beitrag antworten »

nur etwas als Anmerkung:

der DIFFERENZENQUOTIENT ist wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

hingegen ist der DIFFERENTIALQUOTIENT so definiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Ist nicht weiter wild, ich wollte es (ganz nach LOED manier Augenzwinkern

Augenzwinkern

) nur einmal gesagt haben, dass eben der differenzenquotient die sekantensteigung, der differentialqoutient hingegen bei dem entsprechenden grenzübergang die ableitung am punkte $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ angiebt(tangentensteigung).

gruß swerbe

Anzeige

15.07.2005, 16:08

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

weiß ich ja auch, aber ich bruache halt erst einmal den anstieg der sekante um dann nachher den anstieg der tangente berechnen zu können.

melde mcih um 17:15 uhr wieder.

15.07.2005, 16:15

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzenquotient einer gebrochen-rationalen Funktion
Keine Angst vor wilden Rechnereien (und für brunsi zur Kontrolle):

Es sei
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x-1}{x-3} \end{eqnarray*}$

Dann wird natürlich
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x\pm h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{2(x+h)-1}{x+h-3}-\frac{2x-1}{x-3}}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{(2(x+h)-1)*(x-3)-(2x-1)*(x+h-3)}{h*(x-3)*(x+h-3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{2x^2+2hx-x-6x-6h+3-2x^2-2xh+6x+x+h-3}{h*(x-3)*(x+h-3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{-6h+h}{h*(x-3)*(x+h-3)}=\lim_{h \to 0}\frac{-5}{(x-3)*(x+h-3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-5}{(x-3)^2} \end{eqnarray*}$

15.07.2005, 16:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Und die ganze Rechnerei vereinfacht sich weiter, wenn man die rationale Funktion in einen ganzrationalen und einen echt-gebrochenen Anteil zerlegt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x-1}{x-3} = \frac{2(x-3)+5}{x-3} = 2 + \frac{5}{x-3} \end{eqnarray*}$

Jetzt den Differenzenquotienten mit dem letzten Term aufstellen, vereinfachen und $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ gehen lassen.

15.07.2005, 17:08

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

bei mir steht aber das einzelen h, das etzwane imm nenner hat im zähler.

hab ich da was falsch gerechnet?

denn ich komme einam auf $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ und einmal
$\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

und wenn ich den graphen zeichnen lasse, dann stimmt das ja auch.

15.07.2005, 17:18

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von brunsi
bei mir steht aber das einzelen h, das etzwane imm nenner hat im zähler.

hab ich da was falsch gerechnet?

Ja, das h bleibt im Nenner, denn du teilst den Bruch im Zähler ja durch h und nicht durch 1/h, und der Hauptnenner ist somit mit dem h auf einer "Ebene".

Und die Klammern im Zähler musst du korrekt auflösen, so dass sich die meisten Glieder wegheben.

15.07.2005, 17:20

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ja die meisten gleider haben sich bei mir auch gegenseitig aufgehoben im zähler. hatte nur das problem mit dem h im nenner.

gut dann geht aber trotzdem für x<3 der graph gegen -unendlich und für x>3 gegen +unendlich.

edit: wie kommst du auf deine -6h im zähler??? verwirrt

verwirrt

geschockt

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{-6h+h}{h*(x-3)*(x+h-3)}=\lim_{h \to 0}\frac{-5}{(x-3)*(x+h-3)} \end{eqnarray*}$

15.07.2005, 18:10

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Die entstehen aus den

(2(x+h)-1)*(x-3)-(2x-1)*(x+h-3)

also 2*h*(-3) - (-1)*h = -6h+h = -5h

15.07.2005, 19:23

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

gut, für den umgekehrten fall habe ich das jetzt auch raus, hatte mich dort beim ausmultiplizieren vertan.

15.07.2005, 20:49

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry für den doppelpost @MSS!!

So ich würde doch jetzt gerne noch mal sehen, wie die annäherung an die stelle genau aussieht?

muss ich ja nun den Limes für x--->3 bilden oder?

könntet ihr mir das jetzt noch mal kurz erklären? nur ein kleiner tipp erst einmal müsste auch schon ausreichen bzw. schauen, ob meine obige vermutung richtig ist!!

15.07.2005, 21:48

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von etzwane
Ja, das h bleibt im Nenner, denn du teilst den Bruch im Zähler ja durch h und nicht durch 1/h, und der Hauptnenner ist somit mit dem h auf einer "Ebene".

Und die Klammern im Zähler musst du korrekt auflösen, so dass sich die meisten Glieder wegheben.

genau das gleiche wie ich dir vorhin gesagt hab, nur anders formuliert.
glaubst dus nun ?

servus

16.07.2005, 01:30

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von brunsi
muss ich ja nun den Limes für x--->3 bilden oder?

Was willst du denn ausrechnen? Ursprünglich wolltest du die Ableitungsfunktion (also den Differentialquotient) bestimmen? Dann musst du Limes für h-->0 berechnen.

Wenn du Limes x-->3 bildest, bekommst du die Info, ob sich an der Stelle x=3 eine Polstelle mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel befindet.

16.07.2005, 09:51

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Calvin: ich möchte jetzt bestimmen, gegen welches unendlich der graph der funktion bei links- und rechtsseitiger annäherung an die polstelle,strebt?.

sollte das nämlich mit der h-Methode nachweisen.

könnt ihr mir dort einen tipp geben?

wenn ich nun aber den differenzenqoutient für x+h und x-h bilde und davon dann den differentialquotienten bilde, sehe ich ja, dass diese keinen gemeinsamen grenzwert haben, dass also eine definitionslücke an der stelle x=3 vorhanden ist.

kann ich dann aufgrund dessen schon daraus schließen, dass der graph sich dort jeweils gegen unendlich an diese stelle annähert?

16.07.2005, 10:49

Egal

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur auf Grund der Tatsache das der rechtsseitige und linksseitige Differentialquotient nicht gleich ist kannst du nicht über eine Definitionslücke in der Funktion schliessen. Einfachstest Beispiel dafür ist die Betragsfunktion.

Überhaupt verstehe ich nicht warum du einen Differentialquotient berechnest wenn du doch eigentlich einen Grenzwert bestimmen willst?

16.07.2005, 10:51

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von brunsi
kann ich dann aufgrund dessen schon daraus schließen, dass der graph sich dort jeweils gegen unendlich an diese stelle annähert?

Wenn du schon nachgewiesen hast, dass f an dieser Stelle einen Pol hat, dann kannst du durch den Grenzwert der ersten Ableitung an dieser Stelle das Verhalten von f um die Polstelle bestimmen. Wenn an der entsprechenden Stelle keine Polstelle ist, dann geht das nicht (siehe $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .
Aber warum den Umweg über die Ableitung gehen? verwirrt

verwirrt

Bist du sicher, dass mit der "h-Methode" das bilden des Differentialquotients gemeint ist? Könnte es nicht auch sein, dass du für h>0 die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}f(3+h) \text{ bzw. } \lim_{h\to 0} f(3-h) \end{eqnarray*}$ bilden solltest?

EDIT
Ups, zu langsam smile

smile

16.07.2005, 11:31

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du da dann dafür -unendlich und +unendlich als annäherung erhälst ist das sciherlich kein problem. ich versuche das einfach mal.

edit: @egal, was muss ich denn ncoh für die untersuchung berücksichtigen,d amit ich das so machen kann, wie ich es vorgehabt habe?

17.07.2005, 14:22

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Calvin: dazu mus ich doch aber $\begin{eqnarray*} x \pm h \end{eqnarray*}$ wählen oder? denn sonst kann ich ja nciht entscheiden, ob es eine Polstelle ist oder nicht, da ansonsten im Nenner ein term mit quadrat steht und somit der gesamte nur positiv wird.

und dein anderer vorschlag funktioniert entweder nicht ode rich bin zu blöd den anzuwenden.

17.07.2005, 19:02

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ kannst du weglassen, weil $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass h sowohl von unten als auch von oben gegen 0 geht!

Wenn du die Funktion selbst auf eine Polstelle untersuchen willst, muss du die Übergänge $\begin{eqnarray*} h\searrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h\nearrow 0 \end{eqnarray*}$ untersuchen.

Gruß MSS

17.07.2005, 19:23

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

gut und dann weiß ich doch wenn ich danach x--->3 streben lasse, gegen welches unendlich die funktion strebt?

17.07.2005, 21:41

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du die beiden rechnungen durchführst (also einmal von der poitiven seite und einmal von der negativen seite) dann bekommst du entweder:
zwei verschieden grenzwerte, wenn die polstelle eine ungerade vielfachheit hat,
den gleichen grenzwert, wenn die polstelle gerader vielfachheit ist.

das vorzeichen gibt dann dementsprechned an, wo der graph hinläuft.

eine ganz andere methode bringt dir evtl. ein bisschen mehr, wenn du eine komplette kurvendiskussion machen musst.

Du skizzierst die funktion mit hilfe eines ankerpunktes und dann durch felderabstreichen.

dazu musst du natürlich alle polstellen und nullstellen sowie deren vielfachheit kennen.

ist eine sehr empfehlenswerte methode, da man evtl. noch die hilfestellung hat für die kurvendisskusion (falls man eine machen sollte) da man offensichtliche sachen durch ne skizze sofort sieht Augenzwinkern

Augenzwinkern

für alle leute die sehr optisch veranlagt sind ist des enorm hilfreich, weiss ned wie des bei dir aussieht.

servus

18.07.2005, 12:56

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Lazarus: danke.

jedoch solange es nicht irgendetwas im abstrakten mathematischen Bereich ist, geht es auch ohne skizze, es sei denn ich hab mal wieder iregndwo nen ziemlich großes netzt gegeben und soll mal wieder etwas vergleichen oder anhand dessen bearbeiten. dann würde ich gerne was handfestes greifbaere abzählbares haben.

aber wenn diese methode, die du angeführt hast funktioniert, kann ich die ja auch mal verwenden.

18.07.2005, 13:01

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lazarus
Du skizzierst die funktion mit hilfe eines ankerpunktes und dann durch felderabstreichen.

Darunter kann ich mir spontan nichts vorstellen. Wie ist denn das gemeint?

Interessierte Grüße
Calvin

18.07.2005, 14:57

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

@ calvin:

es sei eine voll diffbare funktion und ein koordinaten system.

nun wählt man einen geeigneten ankerpunkt (d.h. irgendeine x-koordinate bei der die fuktion weder nullstelle noch polstelle hat.)
dieser punkt wird eingesetzt um durch den funktionswert festzustellen ob der graph oberhalb oder unterhalb der y-achse verläuft.

nun müssen alle nullstellen oder polstellen bestimmt werden, mitsamt derern vielfachheit.
an jeder pol oder nullstelle wird nun eine zur x-achse senkrechte gerade gezogen.

anhand der vielfachheit der null und polstellen kann man sehn ob ein vorzeichenwechsel stadtfindet oder nicht, das ist ganz eintscheident!

durch die geraden bildet sich eine art "karo-muster" im koordinaten system.jedes karo ist ein "feld"
nun kommt der ankerpunkt wieder ins spiel, denn da wissen wir wo der funktionswert liegt, entweder im poitiven oder im negativen y-bereich.

das bedeutet wir können dem feld in dem der ankerpunkt liegt entscheiden auf welcher seite der y-achse der graph verläuft, und die andere seite streichen!dannach einfach der reihe nach vorgehn, nachschauen ob bei einer null- pol stelle ein vzw vorliegt oder nicht, wenn dann halt die seite wechseln, wenn nicht dann einfach des nachbarfeld nehmen.

danach kann die funktion sehr leicht skiziert werden, wenn man will...

für das unendlichkeits verhalten oder das verhalten an polstellen ist das allerdings nicht nötig!

war jetzt sehr ausführlich beschrieben, aber in der praxis geht das ratz-fatz Augenzwinkern

Augenzwinkern

ist ne sehr angenehme methode, da man weder was schreiben noch rechnen muss.

gibts noch fragen ?
(wenn ja dann shcnell raus damit, ab morgen bin ich ne woche lang ned da Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
servus

18.07.2005, 15:38

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Erklärung. Sehe ich es richtig, dass zum Zeichnen die Extrem- und Wendepunkte nicht berücksichtigt werden? Oder hast du das nur vergessen zu erwähnen? Denn irgendwie fehlt mir ein Hinweis darauf, wie die Funktion zwischen 2 Null- oder Polstellen aussieht verwirrt

verwirrt

18.07.2005, 17:50

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

für ne skizze glaub ich nicht das es von nöten ist die zu berücksichtigen.

allerdings kann man auch aus ner ungenauen skizze rauslesen, z.b. das zwischen zwei nullstellen auf jedenfall ein extrempunkt oder zwischen zwei polstellen mindestens ein wendepunkt oder ein extrempunkt (je nachdem) vorhanden sein muss.

wenn man sich dann der ausführlicheren kurvendiskussion wiedmet kann man notfalls nachschauen ob man einen extrempunkt vergessen hat, wo einer sein müsste oder ähnliches.

servus

18.07.2005, 17:57

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das dient also wirklich nur zu einer ganz groben Skizze. Aber besser als nichts. Mal sehen, ob meine Nachhilfeschülerin nachher was damit anfangen kann Big Laugh

Big Laugh

Danke.

18.07.2005, 18:04

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

kein problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2009, 19:04

gertrude

Auf diesen Beitrag antworten »

quotientenberchnung...
hallo ich hab das selbe problem wie bruni nur ich blick nicht ganz durch könnte mir auch jemand helfen wie ich das mit einer kurvendiskussion berechen kann bzw. qutientenberechnung

f(x) = x^2-1 / x^2 -4

19.01.2009, 19:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: quotientenberchnung...
Als erstes nimmt man Latex: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

Und wo hast du jetzt Probleme?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »