Matrix diagonalisierbar....

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Snooper Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix diagonalisierbar....
Ehhmmm hier noch eine...

Zeigen Sie, dass diagonalisierbar ist. hier von habe ich die determinante für berechnet und nach der ersten zeile entwickelt.

bekomme da irgenwie als charakteristisches polynom[(14-x) (-10-x)*(3-x)+12]+[144*(8*(3-x)-18]+[(-4)*(36+10-x*(-3)]


so jetzt komme ich nicht mehr weiter mit dieser gleichung.ich muss es irgendwie kürzer fassen,halt faktorisieren,aber weiss hier nicht wie ich hier zu multiplizieren hab.kann mir da jemnad dringend helfen??
Crotaphytus Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würd die Determinante nicht unbedingt mit ner Entwicklung berechnen... Bei ner 3x3 - Matrix kannst genauso gut die Sarrusregel verwenden. Wie auch immer, das Ergebnis wirst du dann in jedem Fall ausmultiplizieren müssen, dann gleich Null setzen und versuchen, die Gleichung zu lösen. Da das ne Gleichung dritten Grades wird darfst du entweder auf ziemlich wiederliche Lösungsformeln zurückgreifen oder du musst einen Wert erraten.

Die Alternative ist, die Matrix durch Umformungen auf Dreiecksform zu bringen, dann kannst die Eigenwerte direkt ablesen.


Edit: Vergiss das mit der Dreiecksform, das funktioniert ja doch nicht so einfach wie ich das gedacht hab...
 
 
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

habe es ja editiert..klar weiss ich wie man es zeigt, dass eine basis diagonalisierbar ist.
Crotaphytus Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich auch grad gemerkt Augenzwinkern
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also soll ich lieber die sarrus regel anwenden
bin auch dabei nur wi e rechne ich zB 14-x * 10-x=mit binomischer formel etwa? und -4* (-10-x)??
Crotaphytus Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, es ist spät, oder? Augenzwinkern

Einfaches ausmultiplizieren, würd ich sagen... Augenzwinkern Setzen wir eben noch ein paar Klammern...

(14 - x) * (10 - x)

bzw.

(-4) * (-10 - x)
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

okay..morgen mache dann weiter nach dem ich es ausmultipliziert habe..bis denn
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

habe die sarrus regel angewendet und bekam do sowas raus:

[(14-x) (-10-x)) (3-x)- 144 - 144]-[(12*(-10-x)) + ( -12*(14-x))+(-144*(3-x)]=-x³+7x²-320x+612

meine fragen:1)ist die Gleichung richtig?

2) wenn ja wie fasse ich das noch kürzer auf?, so dass ich meine eigenwerte daraus lesen kann?


mfG
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir da jemand weiter helfen
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Snooper
habe die sarrus regel angewendet und bekam do sowas raus:

[(14-x) (-10-x)) (3-x)- 144 - 144]-[(12*(-10-x)) + ( -12*(14-x))+(-144*(3-x)]=


Das ist noch richtig. Aber in der weiteren Rechnung ist ein Fehler drin. Ich komme auf .

Mach die Rechnung mal in kleinen Schritten, dass man sehen kann, wo dein Fehler liegt:

A:

B:

C:

D:

Gesamt:
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also habe es 3 mal durch gerechnet ..und bekomme:-x³+7x²-16x+12

denn A=[(14-x)*(-10-x)*(3-x)-144-144=-420+98x+14x²+30x-7x²-x³-144-144]-[-720+144x]=-x³+7x²-16x+12

da kann kommt aber +7x² raus???
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Asche über mein Haupt. Das steht so auch hier auf meinem Zettel. Das war lediglich ein Tippfehler in meinem Posting und ich habe es oben korrigiert. Tut mir leid, dass ich dir zusätzliche Arbeit gemacht habe Forum Kloppe <---der in der Mitte bin ich Big Laugh

Tatsächlich ist das charakteristische Polynom -x^3+7x^2-16x+12.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

o da bin ich baer erleichtertsmile ..und wie fasse ich das zusammen??mit binom formel des 3 ten grades?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist es möglich, eine Nullstelle zu erraten und anschließend Polynomdivision durchzuführen. Danach kannst du pq-Formel anwenden. Probier es mal aus.
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich beim raten ja immer unheimlich hilfreich finde ist eine Zeichnung


Und in dem Fall kann man sogar direkt sehen das es wohl nur 2 Nullstellen geben wird.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich zB sage 2 ist eine nullstelle.was nun??
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du durch raten rausgefunden hast, dass an der Stelle eine Nullstelle ist, dann kannst du durch teilen. Damit verringerst du den Grad des Polynoms um 1.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT wegen Doppelpost. Dieses Posting kann gelöscht werden.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du:

-x³+7x²-16x+12 : (x-x_0)=


stimmt das durch x-x_0 teilen??aber was soll für x_0 stehen?


geht das nicht einfacher zb ableten
dann p,q formel
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

x_0 soll hier stellvertretend für eine gefundene Nullstelle stehen.

Du hast schon x=2 als Nullstelle gefunden. Also rechnest du jetzt
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt da auch eine Formel für allerdings ist die nicht annhähernd so schön wie raten und Polynomdivision.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

was ist das für eine formel?
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

habe polynomdivision durchgeführt bekomme da ohne rest -x²+5x+6 raus jetzt muss ich p,q formel ausführen und dann die nullstellen rechnen ne
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Cardanische Formeln
http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
aber sag nicht ich hätte dich nicht gewarnt. Im Übrigen bin ich der Meinung das man wenn man mit Matrizen arbeitet sollte man sich mit der Polynomdivision vertraut machen oder bereits gemacht haben deswegen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision

Für Polynome mit einem höheren Grad als 3 gibt es übrigens keine Lösungsformeln
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke aber polynom division kann ich ja schon.naja hast du dir mein ergebnis angeshen oben?
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht ganz richtig.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich ein vorzeichenfehler? oh stimmt habe mein fehler erkannt am ende muss es -6 heißensmile
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

so da habe ich auch die p,q formel aus gerechnet da bekomme ich für x1=1, x2=-6 was nun??
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht. Wenn du die Gleichung mit der pq-Formel lösen willst, musst du erst das Minuszeichen vor x² entfernen! Die pq-Formel gilt nur für quadratische Gleichungen der Art .
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ah so dann halt die gleichung durch -1 teilen.

so sagt mir nur eins was ist wenn ich dann die nullstellen bekomme???was ist mit 2? da gibt es doch noch ein eigenwert??
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja ist wohl klarr meine nullstellen sind dann bei der p,q formel meine eigenwerte nicht wahr??nur was mich jetzt unruhi macht wie komme ich Zb auf 2 wenn ich vor der polynomdivision rate?

da kommt bei mir für x=3 als eigenraumbasis 0 raus.halt x1,x2,x3 alle null?kann das sein für x=2 bekomme ich 2 basen??aber in der aufagbe steht zeigen sie dass A diagonalisierbar ist??damit es diagonalisierbar ist soll man doch 3 basen bekommen

sorry sorry sorry hate rechen fehler da kommen insgesammt 3 eigenraum basen raus somit diagonalisierbar
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Nun mal noch ein bißchen ausführlicher, bevor ich ins Bett gehe smile

Bei Polynomen dritter Ordnung sollte man IMHO immer erst versuchen, eine Nullstelle zu erraten. Wie "egal" schon gesagt hat, hilft hier eine Skizze sehr gut, um einen groben Wert zu bekommen. Bei diesem Verfahren braucht man ein bißchen Glück, denn wenn es keine ganzzahligen Nullstellen gibt, ist man auf ein Näherungsverfahren oder die "berühmten" cardanischen Formeln angewiesen.

Beim Raten kann man sich auch am Absolutglied des Polynoms orientieren. Das ist die Zahl, bei der kein x steht. Wenn es überhaupt ganzzahlige Lösungen gibt, dann sind diese Teiler des Absolutgliedes. In dieser Aufgabe hättest du also schlimmstenfalls die Zahlen probieren müssen.

Wie du auch richtig bemerkt hast, sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms gleichzeitig die Eigenwerte.

Zitat:
da kommt bei mir für x=3 als eigenraumbasis 0 raus.halt x1,x2,x3 alle null?kann das sein


Da musst du dich verrechnet haben. Ich bin mir nicht 100%ig sicher, aber ich glaube mich zu erinnern, dass dieses Ergebnis überhaupt nicht auftreten kann.

Wie auch immer: ich habe es nachgerechnet und habe zum Eigenwert 2 einen zweidimensionalen Eigenraum bekommen, sowie zum Eigenwert 3 einen eindimensionalen Eigenraum. Wie sah denn dein Ansatz aus?

Gruß
Calvin

PS Ab jetzt muss langsam jemand anderes übernehmen. Das Thema Diagonalisierbar/Eigenwerte/Eigenräume ist bei mir schon eine Weile her.

EDIT
*lol* Habe gerade gesehen, dass du deinen Beitrag zeitgleich editiert hast. Dann hätte ich mir das ja sparen können Augenzwinkern Egal, so freut sich vielleicht ein anderer.
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