Problem mit Ring

30.01.2008, 12:16	Rundmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Ring Ich verstehe eine einfache Gleichung nicht: Sei sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring, $\begin{eqnarray} \mathfrak{p} \end{eqnarray}$ ein Primideal von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x+\mathfrak{p} \in R/_{\mathfrak{p}} \end{eqnarray}$ beliebig und man weiß $\begin{eqnarray} \forall_{x \in R}:x^2=x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x^2 + \mathfrak{p} = x + \mathfrak{p} \Longleftrightarrow (x+\mathfrak{p})((x-1)+\mathfrak{p}) = \mathfrak{p} \end{eqnarray}$ Daraus soll sofort folgen, dass $\begin{eqnarray} x+\mathfrak{p} \in \{\mathfrak{p},1+\mathfrak{p}\} \end{eqnarray}$ ist. Also, ich verstehe weder die Äquivalenz noch die Folgerung. Vermutlich ergibt sich eines aus dem anderen. Kann mir das jemand näher bringen? Bei der Äquivalenz wurde ja nur von rechts $\begin{eqnarray} (x-1)+\mathfrak{p} \end{eqnarray}$ ranmultipliziert. Aber dann steht doch da $\begin{eqnarray} \mathfrak{p} = \mathfrak{p} \end{eqnarray}$ ?
30.01.2008, 12:24	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Äquivalenz beruht auf der einfachen Faktorisierung $\begin{eqnarray} x^2-x=x(x-1) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \mathfrak p \end{eqnarray}$ prim ist, folgt die Behauptung. Wird es dir jetzt klar?
30.01.2008, 12:47	Rundmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so: $\begin{eqnarray} x^2 + \mathfrak{p} = x+\mathfrak{p} &\Longleftrightarrow& (x^2+\mathfrak{p})-(x+\mathfrak{p}) = 0_{R/_{\mathfrak{p}}} = \mathfrak{p} \\ &\Longleftrightarrow& (x^2-x)+\mathfrak{p} = x(x-1)+\mathfrak{p} = \mathfrak{p} \\ &\Longleftrightarrow& (x+\mathfrak{p})((x-1)+\mathfrak{p})=\mathfrak{p} \end{eqnarray}$ Und weil $\begin{eqnarray} \mathfrak{p} \end{eqnarray}$ prim (also $\begin{eqnarray} R/_{\mathfrak{p}} \end{eqnarray}$ nullteilerfrei) ist $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ ? Die Umformungen düften ja in Ordnung sein, denn $\begin{eqnarray} \mathfrak{p} \trianglelefteq (R,+) \end{eqnarray}$ .
30.01.2008, 12:55	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau.
30.01.2008, 13:04	Rundmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse, danke!

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