E(x*y)

30.01.2008, 18:03	janny	Auf diesen Beitrag antworten »
*E(xy)** Hi, ich soll den Erwartungswert E(XY) beim zweifachen Würfelwurf angeben. Wobei $\begin{eqnarray} Y=min (X_1,X_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X=X_1 \end{eqnarray*}$ ist. Könnte mir da jemand weiterhelfen, ich weiß nicht wie ich das machen soll.
30.01.2008, 18:55	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E(XY) = \sum_{i=1}^6\sum_{j=1}^6 \,ij P(X=i,Y=j) \end{eqnarray}$ Du darfst jetzt weiterrechnen. Ich habe 3/8 raus.
30.01.2008, 20:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich verwirrt. Denn ich komme auf 371/36.
30.01.2008, 20:37	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin auch gespannt, wie er Zahlen kleiner 1 werfen will.
30.01.2008, 21:50	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja, ich habe einen Fehler gemacht. Hab immer mit 1/36 gerechnet, ich Doofie.
31.01.2008, 22:04	janny	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss nochmal nachfragen; Irgendwie ist mir das mit der W´keit P(X=i,Y=j) nicht ganz klar. Also ich habe ja sämliche paare (1,1),(1,2),...(6,6). also 1 * 1 * P(1,1) + 1 * 2 * P(1,2) + .... Was genau muss ich denn jetzt bei den W´keiten beachten, also wie setzten die sich zusammen?
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01.02.2008, 01:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider erklärst du deine Bezeichnungen nicht, so daß man nicht sicher wissen kann, was du meinst. Wofür sollen denn die Paare (1,1),(1,2) usw. stehen? Für $\begin{eqnarray} (X=1,Y=1), (X=1,Y=2) \end{eqnarray}$ usw. oder für $\begin{eqnarray} (X_1=1,X_2=1),(X_1=1,X_2=2) \end{eqnarray}$ usw. ? Übrigens hast du auch die Bezeichnungen $\begin{eqnarray} X_1,X_2 \end{eqnarray}$ deines ersten Beitrags nicht erklärt. Mit großer Wahrscheinlichkeit bin ich aber davon ausgegangen, daß das die Zufallsgrößen sind, die das Ergebnis des ersten bzw. zweiten Wurfes angeben. Du hast prinzipiell zwei Möglichkeiten, den Erwartungswert auszurechnen. Wenn $\begin{eqnarray} \omega=(i,j) \end{eqnarray}$ das Ergebnis bezeichnet, daß der erste Wurf die Augenzahl $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und der zweite die Augenzahl $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ ergab, wenn also mit anderen Worten $\begin{eqnarray} X_1=i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2=j \end{eqnarray}$ ist, dann kannst du $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(XY) = \sum_{\omega}~X(\omega)Y(\omega)P(\omega) = \sum_{i,j=1}^6~X(i,j)Y(i,j)P(i,j) \end{eqnarray}$ rechnen. Statt korrekt $\begin{eqnarray} P(\{\omega\}) = P(\{(i,j)\}) \end{eqnarray}$ habe ich dabei der Einfachheit halber $\begin{eqnarray} P(\omega) = P(i,j) \end{eqnarray}$ geschrieben. Auch bei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ habe ich mir eine Klammer gespart. Nun sind alle $\begin{eqnarray} P(i,j) = \frac{1}{36} \end{eqnarray}$ , und dieser konstante Faktor kann vor die Summe gezogen werden. Ferner ist ja $\begin{eqnarray} X(i,j) = i \end{eqnarray}$ (Ergebnis des ersten Wurfes). Dann sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(XY) = \frac{1}{36} \sum_{i,j=1}^6~i \cdot Y(i,j) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} Y(i,j) \end{eqnarray}$ mußt du nun eine Fallunterscheidung machen. $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ liefert ja das Minimum von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} Y(i,j) = \begin{cases} i & \text{falls} \ \ i \leq j \\ j & \text{falls} \ \ i>j \end{cases} \end{eqnarray}$ Wenn dir nichts Besseres einfällt, kannst du die Summe von Hand ausrechnen, es sind 36 Summanden. Die andere Berechnungsmöglichkeit ist (siehe die vorigen Beiträge) $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(XY) = \sum_{i,j=1}^6~ij \ P(X=i,Y=j) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=i,Y=j) \end{eqnarray}$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der erste Wurf die Augenzahl $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ hatte, das Minimum der beiden Würfe aber $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ war (das ist also etwas ganz anderes als das obige $\begin{eqnarray} P(\omega) = P(i,j) \end{eqnarray}$ ). So gelten zum Beispiel $\begin{eqnarray} P(X=2,Y=4) = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} P(X=2,Y=2) = \frac{5}{36} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} P(X=4,Y=2) = \frac{1}{36} \end{eqnarray}$ . Warum?

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