glm. und pktw. Konvergenz

16.07.2005, 16:31

Mathestudent

glm. und pktw. Konvergenz

Hallo Kollegen, Wink

ich bereite mich gerade auf meine Analysis II Klausur vor und ich habe mal eine Frage an euch bezüglich glm. und pktw. Konvergenz

Als aller erstes ist zu sagen, das ich die gegebene Fkt. auf pktw. Konvergenz hin untersuche, denn dadurch kann ich dann ermitteln gegen welchen Grenzwert sie streben muss bei glm. Konvergenz.

Beispiel 1) $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$
Untersuchung auf Punktweise Konvergenz:
Betrachte Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{x}=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn }0\le x < 1 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{wenn }x=1\mbox{ } \end{cases} \end{eqnarray*}$
d.h. also das f(x) nicht glm. Konvergent sein kann, weil die Fkt. f(x) 2 Grenzwerte hat im Intervall [0,1]
Also ist f(x) nur pktw. Konvergent.

Beispiel 2) $\begin{eqnarray*} g_n(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+nx} \end{eqnarray*}$
Wieder Untersuchung der punktweisen Konvergenz
Betrachte Grenzwert von $\begin{eqnarray*} g_n(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\lim_{n \to \infty} g_n(x)=0 \end{eqnarray*}$
Nun weißt du das die Funktion pktw. gegen 0 konvergiert.
Untersuche nun weiter ob ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ existiert mit
$\begin{eqnarray*} \mid g_n(x)-g(x) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{1+n} \end{eqnarray*}$
d.h. $\begin{eqnarray*} g_n(x) \leq \frac{1}{1+n}=\epsilon \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} g_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht glm konvergent für $\begin{eqnarray*} x\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$

Falls ich etwas falsch gemacht haben sollte wäre ich für jede Berichtung dankbar. Mit Zunge

schöne Grüße

Mathestudent

16.07.2005, 18:28

Mathespezialschüler

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RE: glm. und pktw. Konvergenz
Verschoben

Zitat:

Original von Mathestudent
Beispiel 1) $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$
Untersuchung auf Punktweise Konvergenz:
Betrachte Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{x}=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn }0\le x < 1 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{wenn }x=1\mbox{ } \end{cases} \end{eqnarray*}$
d.h. also das f(x) nicht glm. Konvergent sein kann, weil die Fkt. f(x) 2 Grenzwerte hat im Intervall [0,1]
Also ist f(x) nur pktw. Konvergent.

Schon die Grenzfunktion ist falsch! Und die Begründung ist völlig falsch formuliert! Sie hat nicht zwei verschiedene Grenzfunktionen, sondern nur eine. Allerdings sind alle $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ stetig, die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist es nicht. Deshalb kann keine glm. Konvergenz vorliegen!
Versuche noch einmal, die richtige Grenzfunktion herauszufinden! Deine Grenzfunktion wäre korrekt gewesen, falls $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ gewesen wäre.

Zitat:

Original von Mathestudent
Beispiel 2)
...
Wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{1+n} \end{eqnarray*}$
d.h. $\begin{eqnarray*} g_n(x) \leq \frac{1}{1+n}=\epsilon \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} g_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht glm konvergent für $\begin{eqnarray*} x\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$

1. Woher nimmst du $\begin{eqnarray*} g_n(x)\leq \frac{1}{1+n} \end{eqnarray*}$ ?
2. Wie folgerst du daraus, dass keine glm. Konvergenz vorliegt? Es gilt genau das Gegenteil! Wenn du 1. gezeigt hast, dann heißt das glm. Konvergenz, deine Begründung ist also auch hier falsch. Die Ungleichung in 1. ist sowieso falsch.

Gruß MSS

16.07.2005, 18:38

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Zu 1. hat MSS genug gesagt. Bei 2. will ich noch eine Hilfestellung geben:

Zitat:

Original von Mathestudent
Untersuche nun weiter ob ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ existiert mit
$\begin{eqnarray*} \mid g_n(x)-g(x) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{1+n} \end{eqnarray*}$
d.h. $\begin{eqnarray*} g_n(x) \leq \frac{1}{1+n}=\epsilon \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} g_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht glm konvergent für $\begin{eqnarray*} x\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$

Ziemlich unverständlich, was du da machst. Jedenfalls ist gleichmäßige Konvergenz etwas anderes:

Du musst für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass es einen "Mindestindex" $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt (der von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängen darf) mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} |g_n(x)-g(x)|< \varepsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ des Definitionsbereichs, hier also $\begin{eqnarray*} x\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Der Unterschied zur gewöhnlichen punktweisen Konvergenz besteht darin, dass dort dieses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ auch noch vom $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen darf.

Wie findet man ein solches $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ? Nun, man schaut sich den Maximal- bzw. Supremalbetrag $\begin{eqnarray*} \sup\limits_x |g_n(x)-g(x)| \end{eqnarray*}$ der Differenz an, und konstruiert jetzt $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ so, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ dieser Supremalbetrag kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ bleibt.

16.07.2005, 18:55

Mathestudent

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glm. und pktw. Konvergenz
Wäre es denn möglich den Satz von Baolzano Weierstrass auf das erste Beispiel anzuwenden?
Denn der Satz sagt ja aus:
Wenn es eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} h_n(x) \end{eqnarray*}$ gibt, so das $\begin{eqnarray*} h_n(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert dann konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig.
Also kann ich doch die angegebene Folge $\begin{eqnarray*} h_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ wählen, denn von ihr weiß ich das sie nicht glm. konvergiert.
Also würde dann auch $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht glm. konvergieren.
Ist das richtig?

Gruss Mathestudent

16.07.2005, 19:43

Mathespezialschüler

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Sorry, aber ich verstehe gar nichts! Was besagt deiner Meinung nach der Satz von Bolzano-Weierstrass denn? Ich kenne diesen bzgl. der glm. Konvergenz nicht und der Satz den du da geschrieben hast:

Zitat:

Original von Mathestudent
Wenn es eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} h_n(x) \end{eqnarray*}$ gibt, so das $\begin{eqnarray*} h_n(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert dann konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig.

,
ist zunächst mal völlig unverständlich und scheint auch völlig falsch zu sein! Kannst du vll mal eine Quelle angeben, wo dieser, mir unbekannte Satz korrekt aufgeschrieben ist? Danke.
Außerdem: Was willst du denn mit $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ schon wieder? Wir sind doch noch bei $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ oder? Und wenn wir noch dabei sind: Wie gesagt, deine Grenzfunktion ist falsch. Also, hast du vll mal versucht, die richtige herauszufinden? Augenzwinkern

Gruß MSS

17.07.2005, 11:50

Mathestudent

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glm. und pktw. Konvergenz
Hi MSS,

also die Quelle zu dem Satz von Bolzano Weierstrass steht im Bronstein.
Aber mal zurück zu dem was Arthur Dent geschrieben hat.
Er meinte ja das ich, wenn ich so ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ finden möchte entweder den Supremalbetrag oder den Maximalbetrag anschauen soll.
Habe mir also jetzt folgendes überlegt.
Falls die Funktion einen eindeutigen Grenzwert hat, also dort stetig ist, dann kann man sie differenzieren.
Danach setzt man die Ableitung 0 und ermittelt so das Maximum der Funktion. Voraussetzung ist natürlich das die Funktion dies auch erfüllen muss.
Wenn man dann dieses Maximum ermittelt hat, setzt man dies wieder in die Urpsriungsgleichung ein und betrachte wieder den Grenzwert.
Wenn dieser übereinstimmt mit dem oben ermittelten Grenzwert ist die Funktion glm . Konvergent ansonsten halt nur punktweise konvergent.
Ist das soweit richtig? verwirrt

Hoffe schon.

Danke

Mathestudent

17.07.2005, 11:56

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Welche Funktion (wir haben hier eine Funktionenfolge), und welcher Grenzwert, bzgl. n oder x oder was? Alles so nebulös beschrieben, dass ich nichts dazu sagen kann. Vielleicht rechnest du das mal an der konkreten Aufgabe 2 vor, dann verstehen wir vielleicht auch, was du meinst!

Und zu Aufgabe 1 nochmal als Inspiration zum Finden der richtigen Grenzfunktion hierm mal ein Plot der beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} g_{10}(x)=\sqrt[10]{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_{100}(x)=\sqrt[100]{x} \end{eqnarray*}$ :

17.07.2005, 15:56

Mathestudent

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glm. und pktw. Konvergenz
Hier mal die Berechunung des 2 Beispiels anhand dem was ich mir überlegt habe.

$\begin{eqnarray*} g_n(x):=\frac{\sqrt{x}}{1+nx} \end{eqnarray*}$
Betrachte nun den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} g_n(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}g_n(x)=g(x)=0 \end{eqnarray*}$
Leite nun die obige Funktion ab
Dies ist legitim da $\begin{eqnarray*} g_n(x) \end{eqnarray*}$ ein Polynom darstellt und Polynome immer stetig also differenzierbar sind
$\begin{eqnarray*} g'_n(x)=-\frac{-1+xn}{2\sqrt{x}(1+nx)^2} \end{eqnarray*}$
Setze nun diese Gleichung gleich 0 und löse sie nach x auf
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Setze nun das ermittelte Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein.
$\begin{eqnarray*} k_n(x):=\frac{\sqrt{\frac{1}{n}}}{1+n\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$
Nun wieder Grenzwertbetrachtung
$\begin{eqnarray*} [latex]\lim_{n \to \infty}k_n(x)=k(x)=0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt nun das $\begin{eqnarray*} g_n(x) \end{eqnarray*}$ glm. konvergent ist.
Hoffe das ich alles richtig habe und ich keine Rechenfehler gemacht habe.

Mathestudent

17.07.2005, 19:13

Mathespezialschüler

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Die Schreibweise ist zwar insgesamt (vor allem am Schluss) immer noch sehr eigenwillig, aber das Argument ist korrekt. Allerdings musst du noch überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ auch wirklich ein Maximum ist (2. Ableitung <0!)!
Du musst ja beweisen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\|g_n-g\|_\infty =0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das jetzt alles noch ordentlich aufschreibst, unter anderem mit

$\begin{eqnarray*} \|g_n-g\|_\infty= \|g_n\|_\infty=\sqrt{\frac{1}{4n}} \to 0 \end{eqnarray*}$ ,

dann sieht das doch schon ganz gut aus.

Gruß MSS

20.07.2005, 07:45

Mathestudent

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glm. und pktw. Konvergenz
Für alle die es interessiert.
Es gibt noch eine 2 Möglichkeit glm Konvergenz nachzuweisen.
Stichwort: Grenzwertvertauschung

$\begin{eqnarray*} a_{nm} \end{eqnarray*}$ sei eine Doppelfolge
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{nm} = b_m \end{eqnarray*}$
glm. bezüglich $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} a_{nm} = c_n \end{eqnarray*}$
punktweise für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}( \lim_{m \to \infty} a_{nm}) = \lim_{m \to \infty}( \lim_{n \to \infty} a_{nm}) \end{eqnarray*}$

Hoffe das ich das richtig verstanden habe. Falls nicht bitte ich um Statements. Vielen Dank.

Auf die beiden obigen Beispiele bezogen heißt das:
Beispiel 1) nur punktweise konvergent wegen Aussage von MSS

Zitat:

Allerdings sind alle $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ stetig, die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Grenzfunktion ist es nicht. Deshalb kann keine glm. Konvergenz vorliegen!

Beispiel 2) glm. konvergent wegen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}( \lim_{m \to \infty} g_n(x)) = 0 = \lim_{m \to \infty}( \lim_{n \to \infty} g_n(x)) \end{eqnarray*}$

Mathestudent

20.07.2005, 12:18

Mathespezialschüler

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Ich denke, da hast du etwas völlig missverstanden.
Das, was du da aufgeschrieben hast, hat nichts mit einem Kreiterium für glm. Konvergenz zu tun! Du hast es richtig aufgeschrieben, aber falsch interpretiert. Erstmal geht es nur um "normale" reellwertige Doppelfolgen und, so denke ich, nicht um Funktionenfolgen! Und dann gilt folgendes:
Sei $\begin{eqnarray*} (a_{mn}) \end{eqnarray*}$ eine Doppelfolge.
Wenn $\begin{eqnarray*} a_{mn} \end{eqnarray*}$ glm. bzgl. $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) und punktweise für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ), dann existieren die Limites $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\lim_{m\to \infty}a_{mn} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to \infty}\lim_{n\to \infty}a_{mn} \end{eqnarray*}$ uns sind gleich.

Das ist aber eine Wenn-dann-Aussage und keine Äquivalenzaussage. Es gilt zwar, dass aus der glm. Konvergenz bzgl. der einen Variablen und der punktweisen bzgl. der anderen die Gleichung folgt, aber nicht andersherum! Aus der Gleichung folgt nicht, dass glm. Konvergenz vorliegt! Dein Argument bei 2 ist also falsch, aber das wäre es auch so, weil gar kein m auftritt, denn du hast da keine reellwertige Doppelfolge, sondern eine Funktionenfolge.
Ich bin mir zwar im Moment unsicher, ob ein ähnlicher Satz, wie der obige auch für Doppelfunktionenfolgen gilt, aber ich denke, das tut hier nichts zur Sache.

Gruß MSS

20.07.2005, 14:04

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Das ist aber eine Wenn-dann-Aussage und keine Äquivalenzaussage. Es gilt zwar, dass aus der glm. Konvergenz bzgl. der einen Variablen und der punktweisen bzgl. der anderen die Gleichung folgt, aber nicht andersherum!

Und dass die Umkehrung tatsächlich falsch ist, zeigt folgendes Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} a_{mn}=\begin{cases} 1 &\mbox{für}\quad m=n\\ 0 &\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

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