lokale Extrema

16.07.2005, 19:22

Sinchen

lokale Extrema

Hallöchen

Ich habe da mal ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:

"Berechnen Sie alle lokalen Extrema der Funktion

f: R² --> R: f(x,y) := x² - 2xy + 4y³.

Welche der lokalen Extrema sind lokale Minima und welche lokale Maxima?"

Meine Ableitung ist: f'(x,y) = (2x-2y, 12y²-2x)

Nun muss ich ja die Ableitung gleich Null setzen und das bekomme ich nur für den Punkt (0,0) raus. Stimmt das? Oder gibt es noch mehr x und y, wo die Ableitung Null ist? Ich find leider keine. Mir ist es nur irgendwie komisch, dass es nur ein Extrema geben soll?

Bitte ganz dringend um Hilfe, schreibe Montag Prüfung!!

Dankäääääää!!

Sinchen

16.07.2005, 20:08

Calvin

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RE: lokale Extrema
Es gibt noch einen weiteren Punkt, bei dem der Gradient (also die Ableitung) den Wert (0,0) annimmt. Wie sieht denn deine Rechnung aus?

16.07.2005, 20:13

calcium

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Re: lokale extrema
hi sinchen

also wenn du
2x-2y=0

setzt, bekommst du was raus???

so und nu setzt du
12y²-2x=0

und setzt das aus der ersten gleichung da ein....löst das auf...und schon hast du zwei extemstellen...

tschü...lg

16.07.2005, 20:14

Mathespezialschüler

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Verschoben

16.07.2005, 21:49

Sinchen

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häääää?
Dann habe ich noch den Punkt (1/6 , 1/6) gefunden. Das ist ja coool!!!!!

Danke!!!! :-)))

16.07.2005, 22:53

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RE: lokale extrema

Zitat:

Original von calcium
...löst das auf...und schon hast du zwei extemstellen...

Korrektur: ...hast du zwei mögliche Kandidaten für Extremstellen.

Tatsächlich ist nur an einer der beiden Stellen ein Extrempunkt - an der anderen ist ein Sattelpunkt!

17.07.2005, 13:56

Sinchen

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aber noch nicht ganz klar..
So, jetzt habe ich auch herausgefunden, dass der Punkt (0,0) ein Sattelpunkt ist, da die Determinante der Hesse-Matrix kleiner 0 ist.
Im Punkt ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ ) befindet sich dann ein Extrema, weil die Determinante größer Null ist.
Allerdings kann ich nicht so genau erkennen, ob es jetzt ein Minima oder Maxima ist.

Meine Matrix sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Was muss ich jetzt machen, um zu erkennen, ob es ein Maximum oder Minimum ist??

Danke smile

Sinchen

17.07.2005, 15:40

Leopold

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Wenn du schon weißt, daß ein Extremum vorliegt, dann ist dieses ein Maximum, falls für die kritische Stelle $\begin{eqnarray*} f_{xx}<0 \end{eqnarray*}$ , und ein Minimum, falls $\begin{eqnarray*} f_{xx}>0 \end{eqnarray*}$ ist.

17.07.2005, 17:28

Sinchen

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hmm
Ja, das weiß ich auch!!

Mein Problem ist: Woran seh ich in der Matrix, dass f < 0 oder f > 0 ??

Rechne ich da was aus? Oder seh ich es anhand von irgendwelchen Zahlen in der Matrix? (mal voll umgangssprachlich ausgedrückt)

Danke schon mal!! Freude