Epsilon-Delta-Stetigkeit

30.01.2008, 21:09

HvanM

Epsilon-Delta-Stetigkeit

Hallo allerseits.

Und zwar soll ich zur Abbildung $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R - > \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x^{2} + 4} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ bestimmen, sodass $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid x - 1 \mid < \delta \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \mid f(x) - f(1) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Und da dachte ich, dass mache ich über das Epsilon-Delta-Kriterium.

$\begin{eqnarray*} \mid f(x) - f(1) \mid = \mid \frac{1}{x^{2} + 4} - \frac{1}{5} \mid = \frac{1}{5} \mid \frac{(1 - x)(1 + x)}{x^{2} + 4} \mid \leq \frac{1}{5} \mid \frac{1}{x^{2} + 4} + \frac{x}{x^{2} + 4} \mid \mid x - 1 \mid \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Und nun überlegte ich mir, dass $\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{x^{2} + 4} \mid \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} \mid \frac{x}{x^{2} + 4} \mid \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ sein müsste.

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \mid \frac{1}{x^{2} + 4} + \frac{x}{x^{2} + 4} \mid \mid x - 1 \mid \leq \frac{1}{5} \mid \frac{1}{2} \mid \mid x - 1 \mid \Rightarrow \mid x - 1 \mid < 10 \epsilon =: \delta (\epsilon) \end{eqnarray*}$

Und damit denke ich, dass ich die Lösung habe. Trotzdem stellt sich mir die Frage, ob dies eben so korrekt ist, oder ob ich irgendwelche Fehler eingebaut habe.

Ich danke euch schon einmal smile

HvanM

30.01.2008, 21:22

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von HvanM
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{x}{x^{2} + 4} \mid \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Das stimmt zwar, aber es hört sich so an, als hättest du keine ordentliche Begründung dafür. Wenn doch, wie sieht die aus?
Ansonsten ist deine Rechnung ok. Du solltest nur darauf achten, dass du durch deine Rechnung jetz Schlussfolgerungen gezogen hast auf $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ . Du musst also jetzt nochmal explizit aufschreiben:

Wenn $\begin{eqnarray*} |x-1|<\delta:=10\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(1)|=\ldots\leq\ldots <\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

30.01.2008, 21:23

tmo

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deine überlegungen sind alle richtig, aber du kannst es dir einfacher machen:

wähle $\begin{eqnarray*} \delta := \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(1)| \leq ... \leq |x-1| < \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

dazu musst du auch nicht so genaue abschätzungen machen. denn die abschätzung $\begin{eqnarray*} \left| \frac{x}{x^2+4} \right| \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist sehr genau, denn 1/4 ist gerade das supremum.

du machst es dir selbst einfacher, wenn du grob abschätzt. so lösen sich auch eventuelle denkfehler manchmal in luft auf, weil die abschätzung trotzdem noch stimmt Big Laugh

30.01.2008, 21:39

HvanM

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Erstmal vielen Dank an Euch. smile

Nunja, die Abschätzung... Also ersteinmal dachte ich mir, dass $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{2} + 4} \end{eqnarray*}$ sicher stets kleiner 1 ist, da ich aus Zähler und Nenner x ausklammern und kürzen kann und somit der Nenner bei wachsenden x stets größer wird, womit der Bruch nicht größer als 1 wird.

Und andererseits könnte ich ja auch die Vier im Nenner ausklammern, aus dem Betrag herausziehen und erhalte damit $\begin{eqnarray*} 0.25 \mid \frac{1}{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \mid \end{eqnarray*}$ und somit schließlich 0.25 als kleinste oberste Schranke

30.01.2008, 21:41

Mathespezialschüler

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Wenn deine Begründung stimmen würde, könnte man das ja für jede positive Zahl so machen. Und das wär schon ein bisschen komisch. Wenn du die $\begin{eqnarray*} 0.25 \end{eqnarray*}$ rausziehst, verändert sich der andere Term natürlich auch. Warum soll das Ganze dann auf einmal kleinergleich $\begin{eqnarray*} 0.25 \end{eqnarray*}$ sein und nicht mehr nur kleinergleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ?

30.01.2008, 21:49

HvanM

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Nunja, da durch das Rausholen der $\begin{eqnarray*} 0.25 \end{eqnarray*}$ ja auch $\begin{eqnarray*} \mid \frac{x}{x^{2} + 4} \mid = \mid \frac{x}{4 (\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \mid \leq 0.25 \mid ... \mid \end{eqnarray*}$ ist, oder irre ich hier? Ich habe einfach x gedanklich beliebig groß werden lassen, weswegen letztlich der Nenner beliebig groß wird und der Betrag insgesamt beliebig klein, doch ungleich 0 wird.

30.01.2008, 21:50

HvanM

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Und dabei ist der Zaehler beim zweiten Term = 1 und nicht x.

30.01.2008, 21:56

HvanM

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Ach Quatsch, habe gerade einen Denkfehler gehabt... Natürlich folgt aus dem Herausholen des Skalars keine Abeschätzung nach oben. Dann habe ich das wirklich ohne genaue Begründung so abgeschätzt.

30.01.2008, 22:27

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von HvanM
Ich habe einfach x gedanklich beliebig groß werden lassen, weswegen letztlich der Nenner beliebig groß wird und der Betrag insgesamt beliebig klein, doch ungleich 0 wird.

Abgesehen von deinem Denkfehler ist es ja uninteressant, was für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ passiert. Wichtig ist, was in einer Umgebung um die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ passiert, insofern passt die Begründung so oder so nicht. Also entweder du nimmst eine gröbere Abschätzung oder du denkst mal über eine Rechtfertigung nach. Tipp: Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischen Mittel.

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