Tipps für einfacheres Verständnis?

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Legion Auf diesen Beitrag antworten »
Tipps für einfacheres Verständnis?
Hallo! Wink
Bin neu hier und weiß deshalb nicht, ob ich hier richtig bin. Wenn's woanders hingehört, SORRY! Gott

Ich belege die Vorlesung "Analysis II" und habe schon den ersten Teil nur mit Hängen und Würgen geschafft, doch nun hat mein mathematisches Verständnis wohl ein absolutes Minimum erreicht. Forum Kloppe

Da ich meist eine bildliche (oder sonst irgendwie konkrete) Vorstellung brauche, um etwas zu verstehen, blicke ich bei den (für mich) abstrakten Definitionen und Sätzen (wie z.B. offene/ abgeschlossene Menge, Kompaktheit, Stetigkeit usw.) einfach nicht mehr durch.
Gibt es vielleicht irgendwo Quellen, die die Begriffe der Analysis etwas verständlicher machen könnten?
Für Antworten wäre ich unendlich dankbar...
n! Auf diesen Beitrag antworten »

naja,du kannst natürlich mal unter Google suchen.Aber schöne anschauliche Erklräungen findet man halt nur schwer.

Vielleicht postest du die Begriffe unter denen du dir nur schwer etwas vorstellen kannst,hier rein.Eventuell können wir dir da helfen.
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht findest du auch etwas bei www.wikipedia.de ???
Legion Auf diesen Beitrag antworten »

Leider konnte mir bisher das gesamte Internet nicht bei meinen Verständnisproblemen helfen unglücklich

Ich möchte mal versuchen anhand der Definition der offenen Menge zu zeigen, wie ich "versuche", mir die Dinge deutlich zu machen und dabei auch höchstwahrscheinlich auf dem Holzweg bin. (Ich benutze im Folgenden e* für Epsilon und U* für die Epsilon-Umgebung, da ich nicht weiss, wie man diese Zeichen hier darstellen könnte)

Definition: Es sei X ein metrischer Raum, sei A Teilmenge von X und a X.
(die Metrik z.B. verstehe ich analog zum Abstand zweier Punkte im R² bzw. R³)

1) Für e*>0 heisst die Menge U*(a):={X X | d(x,a)<e*} Epsilon-Umgebung von a.
(bildlicher Vorstellungsversuch: ich zeichne einen Kreis mit Radius d(x,a) und alle von a verschiedenen Punkte innerhalb des Kreises bilden die Epsilon-Umgebung)

2) Der Punkt aX heisst innerer Punkt von A gdw U*(a) Teilmenge von A für mindestens ein e*>0 gilt.
(bedeutet: liegt die Epsilon-Umgebung in A, so liegt auch a in A)

3) Die Menge A* := {aX | a ist innerer Punkt von A} heisst das Innere von A.
(Menge aller aX, für die U* Teilmenge von A, ergo a in A liegt, gilt)

4) A heisst offen gdw. A = A* gilt.

----------------------------

Aber was genau kann ich mir nun unter einer offenen Menge vorstellen? In meinem Verständnis wäre es dann eine Menge A, bestehend aus allen a's, deren Epsilon-Umgebung Teilmenge von A ist.
Wäre dann ein Berührungspunkt ein Punkt, der eine Menge tangiert? Bei der Abgeschlossenheit scheitere ich dann daran, dass die abgeschlossene Hülle von A (welche die Berührungspunkte umfasst) gleich der Menge A sein soll.

Wahrscheinlich scheitere ich daran, dass ich mich bemühe alles auf eine ZU simple Form zu bringen. (allerdings möchte ich diese Vorlesung wenigstens nächstes Jahr bestehen Augenzwinkern )
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Legion
Aber was genau kann ich mir nun unter einer offenen Menge vorstellen? In meinem Verständnis wäre es dann eine Menge A, bestehend aus allen a's, deren Epsilon-Umgebung Teilmenge von A ist.

Der Formulierung nach zu urteilen hast du die Sache wirklich nicht verstanden: Es geht nicht um die Epsilon-Umgebung, sondern um eine Epsilon-Umgebung! Ich formuliere es mal um, so dass es richtig ist - vielleicht erkennst du den Unterschied:

Zitat:
Original von Legion
Eine offene Menge A besteht nur aus solchen a's, für die es jeweils eine Epsilon-Umgebung gibt, die Teilmenge von A ist. Dabei können die Epsilons für die verschiedenen a's durchaus verschieden sein.

Du solltest dich der Sache erstmal dadurch annähern, dass du dir für einige Figuren (Kreise, Vielecke o.ä.) überlegst, ob sie offen oder nicht sind - was darauf hinausläuft: ohne Rand oder mit, im geometrischen Sinne verstanden. Dann wirst du merken, dass die Begriffe innerer Punkt, Randpunkt u.ä. durchaus so gewählt wurden, dass sie mit der Anschauung korrespondieren, zumindest in so einfachen Räumen wie dem und einigermaßen "freundlichen Mengen" wie den erwähnten Vielecken o.ä.

EDIT: (Einige) Schreibfehler korrigiert...
Legion Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Unterschied besteht darin, dass ich ein festes Epsilon für jede Umgebung setzen wollte, aber ein Epsilon nur für je eine Umgebung existiert!?!
Ich stelle mir also eine offene Figur vor, ähnlich einem offenen Intervall (a,b), bei dem ich mich beliebig dem b nähern kann, ohne es jemals zu erreichen. Wenn ich mir dann z.B. einen ausgefüllten Kreis aufzeichne, dann hat er ja quasi einen Rand. Dann kann ich ein Epsilon beliebig klein wählen, so dass sich der dazugehörige Punkt a beliebig dem "gezeichneten Rand" des Kreises nähert, ohne ihn jemals zu berühren und somit wäre dieses a mit diesem Epsilon ein innerer Punkt.

Bei einer abgeschlossenen Menge hätte ich dann einen Kreis mit festem Rand. Ein Punkt a könnte dann mit einem beliebig kleinem Epsilon genau auf den Rand des Kreises gelegt werden und wäre somit Berührpunkt des Kreises.

Ist diese Vorstellung in etwa richtig?

Wenn ja, wird dann ein Epsilon immer beliebig klein gewählt? Denn wenn ein Punkt a ausserhalb der Menge A liegt, könnte ich sonst ein Epsilon so groß wählen, dass die Epsilon-Umgebung dieses a's immer noch eine Schnittmenge mit A bildet. Somit wäre dann a ein Berührpunkt von A, obwohl a weit ausserhalb von A liegt?!?
 
 
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Du suchst nach einem Epsilon der Art das die komplette Umgebung noch in deiner Menge ist. Nur dann heisst der Punkt auch wirklich innerer Punkt.

Bildlich ist eine offene Menge einfach eine Menge bei der der Rand nicht dazu gehört vergleichbar einem offenen Intervall auf dem Zahlenstrahl.

Edit: Weisungsgemäss streicht und noch nen Kaffee trinkt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Egal
Wenn man offen einmal hat ist abgeschlossen leicht. Das sind dann einfach die Mengen die nicht offen sind.

Den letzten Satz streichen wir lieber mal ganz schnell und ersetzen ihn durch:

Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Legion Auf diesen Beitrag antworten »

nur eine Nachfrage zum Verständnis des Berührungspunktes:

Ich wähle einen Punkt a ausserhalb der Menge A. Kann ich dann ein Epsilon so groß wählen, dass die Epsilon-Umgebung von a so groß ist, dass sie und die Menge A eine Schnittmenge bilden?
Dann wäre ja a ein Berührungspunkt von A, obwohl er ausserhalb der Menge liegt!?! (mir geht's hierbei darum, ob der Begriff der "Berührung streng wörtlich zu verstehen ist, oder nicht)

Bis auf diesen Punkt glaube ich, dass ich es dank Eurer Hilfe endlich mal verstanden habe Gott
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtig bei Berührpunkten ist das es immer eine Schnittmenge geben muss egal wie das Epsilon gewählt wird. Sprich auch wenn die Umgebung um den Punkt a sehr klein gewählt wird muss es immer noch eine nicht leere Schnittmenge von U und A geben. Dann heisst der Punkt a Berührpunkt.
Legion Auf diesen Beitrag antworten »

Ergo, a darf auch ausserhalb von A liegen, solange seine Epsilon-Umgebung aber eine Schnittmenge mit A bildet, ist a immer noch ein Berührungspunkt von A.

Vielen Dank!
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nicht "die Epsilon Umgebung" da musst du vorsichtig sein sonst bekommst du ruckzuck eine falsche Vorstellung davon was ein Berührpunkt ist.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tipps für einfacheres Verständnis?
Zitat:
Original von Legion
Bin neu hier und weiß deshalb nicht, ob ich hier richtig bin. Wenn's woanders hingehört, SORRY! Gott

Hallo erstmal Wink

Das nimmt die hier keiner übel, wir schlagen dich nicht. Keine Sorge.

Aber das zählt schon eher zu Höherer Mathematik, deshalb

Verschoben

Rob.
Legion Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich gehe mit den Begrifflichkeiten leider immer zu schlampig um..

Würde es eher den Nagel auf den Kopf treffen, wenn ich sage, dass ein Punkt beliebig viele Epsilon-Umgebungen, mit beliebig vielen Epsilons, besitzt? Zur Untersuchung, ob es sich um einen Berührpunkt handelt, betrachte ich dann ein beliebiges Epsilon.
Bruno Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tipps für einfacheres Verständnis?
Vielleicht greife ich nun total daneben...
Aber ist klar was offen und abgschlossen vom Woert her meint?

Man nehme das Intervall I: (1, 2]
Man nehme also die Zahlengerade von |R und der Bereich geht von 1 (offen) bis 2 (abgeschlossen).

Abgschlossen: Zur 2 hin darfst du, du stehst da also "auf der 2" und alles über 2 (mit jedem Schritt der Grösse Epsilon welchen du machen würdest) GEHT NICHT... du bist am Rand...

Offen: Du darfst nicht auf die 1 kommen... du darfst nur unendlich nahe ran... das heisst du stehst bei 0.5 und nun mach ein Schritt Epsilon mit sagen wir 0.45 (oder einfach was unter 0.5)... nun stehst du 0.05 von der 1 entfernt, nun also ein Schritt Esilon mit 0.04... nun noch einer mit 0.01... das Spiel kannst du unendlich oft machen... du wirst IMMER ein Epsilon finden mit welchem du noch etwas näher an die Grenze kommst... du darfst nur nie darauf treten...

Das Spiel kannst du in jedem Raum oder Bereich mache... R^n, C...

...so nun schlag mich, wenn das eh schon klar war Rock
Legion Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tipps für einfacheres Verständnis?
Vielen, vielen Dank Gott
Nun hat es letztendlich "Klick" gemacht

Nachtrag: Wenn a ein Berührpunkt der Menge A ist, nicht aber Element von A, so nennt man a "Häufungspunkt von A". Wenn ich das jetzt so richtig verstanden habe, was "genau" kann ich mir unter einem Häufungspunkt vorstellen?
Leider ist mir die Definition, dass wenn x gegen a strebt, der Grenzwert der Funktion f(x)=b ist noch vollkommen schleierhaft. verwirrt
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