surjekt, injektive, bijektive Abbildungen

30.01.2008, 21:52

fragender

surjekt, injektive, bijektive Abbildungen

n'abend,
hab heut im internet/skript was gelesen, was ich nicht ganz verstanden habe:
es hieß:

Sei f: V --> W eine lineare Abbildung:
Dann gilt:

f ist injektiv <-> Kern f = {0}
f ist surjektiv <-> Bild f =W

ODER

f ist injektiv <-> dim Kern f=0
f ist surjektiv <-> Rang f = dim W

so weit so gut,
daraus habel ich geschlussfolgerd dass f bijektiv ist, wenn
Kern f={0} und Bild = W....
...so jetzt meine frage:
wenn eine Abbildung surjektiv ist (das heißt siehe oben) (Bild f=W), dann muss doch mein Kern automatisch Kern f ={0} sein, heißt das wenn meine abbildung surjektiv ist, ist sie dann automatisch bijektiv?

bitte um hilfe, danke

30.01.2008, 22:02

tigerbine

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RE: surjekt, injektive, bijektive Abbildungen
Wichtig ist, das Du hier von linearen Abbildungen zwischen endlich Dimensionalen VR sprichst. Nun kommt es noch auf die Dimensionen von V und W an. Sind diese gleich groß, dann stimmt deine Vermutung (Dimensionssatz). Sind sie unterschiedlich groß, so stimmt es nicht mehr.

30.01.2008, 22:07

fragender

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achso angenommen die abbildung ist linear und bildet vom IR4 ---> IR3 ab,
des weiteren nehmen wir die abbildung sei surjektiv, also rang vom bild= 3, so daraus kann ich doch jetzt folgern, die dimension des kerns ist 1.

heißt das nun, dass die abbildung zwar surjektiv aber nicht injektiv also dann nicht bijektiv ist?

30.01.2008, 22:29

Mathespezialschüler

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Ja.

30.01.2008, 22:43

fragender

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supi ok, letzte frage^^
dann kann eine bijektive abbildung sein, wenn die dimensionen des bild- bzw. urbildbereichs übereinstimmen...
aber letzte beispiel:
angenommen f: IR 4 --> IR 4
rang f=3;
-> dim Kern =1;
diese abbildung ist dass weder surjektiv, noch injektiv richtig?

30.01.2008, 22:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von fragender
dann kann eine bijektive abbildung sein, wenn die dimensionen des bild- bzw. urbildbereichs übereinstimmen...

Was soll das bedeuten? Kannst du den Satz vielleicht nochmal grammatikalisch einwandfrei formulieren?
Deine zweite Aussage ist, wenn auch ebenso falsch formuliert, richtig - so wie ich sie verstehe.

30.01.2008, 22:57

fragender

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ok sorry, hast recht
ist ja auch bissel spät...

also meine 1. aussage:
eine bijektive abbildung kann nur dann vorliegen, wenn es
sich um eine lineare abbildung f handelt, die folgermaßen
charakterisiert ist:
f: IR 4 --> IR 4

richtig?

2. aussagen bzw beispiel:

angenommen f: IR 4 --> IR 4
rang f=3;
-> dim Kern =1;
diese abbildung ist nicht surjektiv, da rang f = 3 und nicht 4;
sie ist nicht injektiv da dim Kern=1 und nicht 0

richtig?

30.01.2008, 23:56

Mathespezialschüler

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Bei dem ersten: Naja das ist zu speziell, z.B. kann eine lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb Q^{23}\to \mathbb Q^{23} \end{eqnarray*}$

ja genausogut bijektiv sein. Allgemein kann eine lineare Abbildung eines endlich-dimensionalen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in den Vektorraum $\begin{eqnarray*} V' \end{eqnarray*}$ nur dann bijektiv sein, falls auch $\begin{eqnarray*} V' \end{eqnarray*}$ endlich-dimensional ist mit

$\begin{eqnarray*} \dim V=\dim V' \end{eqnarray*}$ .

Die zweite Aussage ist richtig.

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