Abbildungen bezüglich der Basen

17.07.2005, 01:30

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

Abbildungen bezüglich der Basen

Sei

$\begin{eqnarray*} V:= \{x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t \in \mathbb R^4 : x_1+x_2+x_3+x_4=0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W:= \{x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t \in \mathbb R^4 : x_1-x_3+x_4=x_2-x_3-x_4=0\} \end{eqnarray*}$

Die Lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ sei definiert durch

$\begin{eqnarray*} f((x_1,x_2,x_3,x_4)^t):=(4x_1-12x_2-15x_3,6x_1+34x_2-3x_3,5x_1+11x_2-9x_3,x_1+23x_2+6x_3)^t \end{eqnarray*}$

1. Sei

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & -1 \end{pmatrix}~und~C=\begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 5 & -1 \\ 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass durch A und B zwei Basen von V gegeben werden, und durch C eine Basis von W.

2. Beschreiben Sie $\begin{eqnarray*} x=(1,2,3,-6)^t \end{eqnarray*}$ bezüglich A und bezüglich B.

3. Beschreiben Sie f bezüglich der Basen A und C.

17.07.2005, 12:30

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

Zu 1) und 2): Wo ist das Problem?

Zu 3) : Die Spalten sind die Bilder der Basisvektoren.

mfg, phi.

17.07.2005, 19:21

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir den ansatz vielleicht verraten..ich wüsste jetzt nicht wie ich das zeigen soll?

17.07.2005, 20:10

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) Betrachte z.B. die 1.Spalte von A:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

und prüfe die Eigenschaft von V.

zu 2) Lineares Gleichungssystem!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}= a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+ b\cdot ..... \end{eqnarray*}$ ,

Tip: bzgl. A kannst du im Kopf rechnen, bzgl. B das LGS lösen.

zu 3) Darstellungsmatrizen!

mfg, phi.

17.07.2005, 20:29

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1)ahaaaa also soll ich alle spalten von A und B überprüfen,ob da null rauskommt??habe da die werte der spalten von a und b einfach in v eingesetzt so kamm bei allem null raus?und dann setze ich die werte von den spalten von c in w?war das verlangt in 1?

17.07.2005, 20:39

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Anzeige

17.07.2005, 20:42

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

und damit habe ich dann gezeigt,dass durch A und B 2 Basen von V gegeben werden.ich habe die werte nur eingesetzt und da kam das selbe ergebnis wie bei V.

was istd enn bei 2) a und b skalare?

17.07.2005, 20:57

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind Vielfache, ja.

17.07.2005, 21:00

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2) a* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +b* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,a* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +b* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,a* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +b* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so??

zu 3)von C kann ich aber keine inverse bilden denn ist nicht quadratisch

hallo jemand da?ich will nur wissen wie man die inversen von nicht quadratsichen matrizen bildet dann ist es ja leicht die fragen zu beantworten unglücklich

unglücklich

edit: Doppelpost zusammengefügt, was soll der Pushpost? Bitte unterlassen!! (MSS)

17.07.2005, 22:17

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2) Nochmal: Ja.

zu 3) Inverse, wozu? Was ist die Definition einer Darstellungsmatrix?

17.07.2005, 22:20

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

aber im endeffekt muss ich doch C^-1*f*A berechnen.das ist dann meine darstellungmatrix

zu 2)bei mir kommt was anderes raus

17.07.2005, 22:33

Egal

Auf diesen Beitrag antworten »

Was die 2 angeht hätte ich ja erwartet das bzgl A respektive bzgl B sich jeweils eine andere Darstellung ergibt. Du scheinst das aber irgendwie zu vermischen.

17.07.2005, 22:37

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

aber phi meinte ja ich sollte LGS auflösen verwirrt

verwirrt

oben geschrieben) nur wenn ich das aus rechne bekomme ich nur lauter a und b??und nicht vektor x

wie löse ich das ertse auf bitte??dann weiss ich auch wie das weiter geht smile

smile

)

17.07.2005, 22:44

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Formal wird es zwar als C^-1*f*A definiert, aber zum Rechnen muss man ein lin. Gleichungssystem aufstellen. Kleines Beispiel:

Sei f(x,y)=(3x-2y, x+y), und B={(5,8)(-1,1)}, C={(0,1)(1,1)}, so gilt

$\begin{eqnarray*} _BM_C(f)=\begin{pmatrix} 14 & 5 \\ -1 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

da

f(5,8)=(-1, 13) = 14 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (0,1)+( -1) $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (1,1)

und

f(-1,1)=(-5, 0) =5 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (0,1) +(-5) $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (1,1)

ist.

Das heißt die Basisvektoren von B in die Funktion f eingesetzt muss eine Linearkombination der Basisvektoren von C ergeben. Aufgabe 2) ist quasi eine Übung, wie man die Faktoren durch ein Gleichungssytem herausbekommt.

Was hast du denn bei 2) herausbekommen ?

17.07.2005, 22:47

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

auf was bezieht sich dieser teil??auf 3!ne

zu 2 wenn ich das berechne bekomme ich nullen und a und b raus??kannst mir den anfang mal kurz vorrechnen?

irgenwie peile ich nix mehr

ich weiss nicht wie du in deinem beispiel auf 14 kommst?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte unterlasse solche Pushposts! (MSS)

17.07.2005, 22:57

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von phi
Formal wird es zwar als C^-1*f*A definiert, aber zum Rechnen muss man ein lin. Gleichungssystem aufstellen. Kleines Beispiel:

Sei f(x,y)=(3x-2y, x+y), und B={(5,8)(-1,1)}, C={(0,1)(1,1)}, so gilt

$\begin{eqnarray*} _BM_C(f)=\begin{pmatrix} 14 & 5 \\ -1 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

da

f(5,8)=(-1, 13) = 14 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (0,1)+( -1) $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (1,1)

und

f(-1,1)=(-5, 0) =5 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (0,1) +(-5) $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (1,1)

ist.

Das heißt die Basisvektoren von B in die Funktion f eingesetzt muss eine Linearkombination der Basisvektoren von C ergeben. Aufgabe 2) ist quasi eine Übung, wie man die Faktoren durch ein Gleichungssytem herausbekommt.

Auf 3) natürlich, von einer Darstellungsmatrix bezüglich zweier Basen ist doch nirgends sonst die Rede.

Zu 2) Von Vermischen hab´ ich nichts gesagt. Konzentrier dich erstmal nur auf die drei Spaltenvektoren von A: av_1+b_v2+cv_3= (1,2,3,-6). Bei A ist es so simpel, das du nichtmal ein LGS brauchst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit:

f(5,8)=(-1, 13) = 14 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (0,1)+ ( -1 ) $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ (1,1)

13= 14 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ 1 + (-1) $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ 1.

17.07.2005, 23:19

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

ja auf 13 kommen habe ich verstanden nur wo kommt dieser 14 her?

17.07.2005, 23:21

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 14 bekommt man haargenau so raus, wie man bei 2) a, b und c rausbekommt: Durch genaues Hinschauen oder notfalls durch ein lineares Gleichungssystem.

17.07.2005, 23:23

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

was ist 14?wie erkenne ich es?

und 2 habe ich noch nicht lösen können weil ich es nicht auflösen kann

17.07.2005, 23:23

fire

Auf diesen Beitrag antworten »

dazu etwas Lektüre Augenzwinkern

Augenzwinkern

:
http://matheplanet.com/default3.html?cal...cle.php?sid=368

17.07.2005, 23:29

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2)

Schreib mal nur die obersten Komponenten der Spalten von A = die oberste Komponente von (1,2,3,-6)^t , na erkennst du es jetzt.

Und das Gleiche mit den 2.obersten Komponenten, den 3. und 4. ...nennt sich lineares Gleichungssystem.

Freude

Freude

17.07.2005, 23:31

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

x1*1+x2*0+x3*0

17.07.2005, 23:33

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

zB: a* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +b* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie löse ich es auf??

17.07.2005, 23:34

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist gleich was ?

x1*1+x2*0+x3*0 ist gleich was?

Vorsicht mit den Doppelposts!

17.07.2005, 23:37

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

ist gleich null natürlich? oder 1?

17.07.2005, 23:37

Egal

Auf diesen Beitrag antworten »

Snooper schau dir doch mal das an was phi als Link gepostet hat. Da ist an einem hübschen Beispiel genau das was du grade versuchst erklärt.

17.07.2005, 23:39

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn die oberste Komponente von (1,2,3,-6)^t ?

17.07.2005, 23:42

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

1 oder?

18.07.2005, 00:06

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Was macht dich da so unsicher?

Also ist in der obersten Zeile 1a+0b+0c=1. Wegen den zwei Nullen können wir noch nicht sicher sein ob wirklich a=1 ist. Also weiter geht´s mit der 2. Zeile. Was haben wir da?

18.07.2005, 00:17

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

0a+1b+0c=1

18.07.2005, 00:26

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

In der 2. Zeile steht doch im Ergebnisvektor eine 2 !

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Was heißt das für b ?

18.07.2005, 00:38

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

b=2

ps habe meine darstellungmatrix raus

18.07.2005, 00:47

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, und jetzt noch die 3. Zeile....

Was hast du denn bei 3) raus?

18.07.2005, 00:55

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

-1a-1b-1c=3

18.07.2005, 01:01

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, 0a+0b+1c=3 und damit haben wir a, b und c und können die 4. Zeile: -1a-1b-1c=-6 als Probe nehmen

18.07.2005, 01:02

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 7 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

meine darstellungsmatrix bei teil 3)

zu 2)müssen wir das ganze auch noch mit b machen?

18.07.2005, 01:20

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der 1. und 3. Spalte hab´ich das gleiche raus, allerdings ist das Gleichungssystem bei der 2. Spalte überbestimmt: Es ist nämlich 7 mal 5 + 1 mal (-1) = 34, also nicht gleich 3. Vielleicht soll nur $\begin{eqnarray*} _BM_B(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} _CM_C(f) \end{eqnarray*}$ berechnet werden ?

$\begin{eqnarray*} _BM_C(f) =\begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ -1 & y & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu 2) Ja ( Schreibe aber B groß! Sonst sind Verwechslungen mit den gesuchten Faktoren möglich...) , aber dieses mal gleich als komplettes lineares Gleichungssystem schreiben und lösen:

a + b+ 2c =1
a - b =2
a + b - c =3
-3a-b - c =-6

18.07.2005, 01:24

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst ich soll für die 2 te spalte nur variablen einsetzten??

18.07.2005, 01:32

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, eigentlich nicht, ich will damit nur anzeigen das da was nicht stimmt. Vielleicht stimmt irgendein Wert in der Aufgabe nicht. Bei 1. und 3. Spalte kommen ja sogar ganzzahlige Werte raus... beim Aufgabensteller nochmal nachfragen.

18.07.2005, 01:41

Snooper

Auf diesen Beitrag antworten »

ich lass mich überraschen smile

smile

aber egal welches vielfaches man da einsetzt.wichtig ist doch das man das ergebnis bekommt oder smile

smile

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »