Tschebyscheff - Welche Ungleichung nehmen?

17.07.2005, 12:27

0001001

Tschebyscheff - Welche Ungleichung nehmen?

Hallo,

hab da so meine Probleme mit den Ungleichungen von Tschebbyscheff! Eigentlich sollte der Aufgabentyp ja nicht so schwer zu lösen sein, aber ich komm nicht darauf welches System oder welcher Trick dahinter steckt.

Woher weiss ich welche der beiden Tschebyscheff Ungleichungen ich nehmen soll?

Den Sinn der Tschebyscheff Ungleichungen hab ich denke ich verstanden: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Erwartungswert der Grundgesamtheit in einem Intervall liegt soll z.B. 95 % sein. Man sucht dann eben genau diesen Intervall.

Z.B. folgende Aufgabe:

Zitat:

Der Produktionsleiter einesAutomobilkonzernsstellt in einer Stichprobenuntersuchung von 500 Autos fest, dass 24 Autos fehlerhaft lackiert sind.

Bestimmen sie unter Verwendung einer geeigneten Varianzschätzung ein 95 % Konfiidenzintervallfür den Anteil der fehlerhaft lackierten Autos der Gesamtproduktion.

Woher weiss ich welche Ungleichung ich nehmen muss?

17.07.2005, 12:31

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Welche zwei Tschebyscheff-Ungleichungen? Ich kenne nur eine, die man allerdings verschieden schreiben kann.

17.07.2005, 13:37

0001001

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$\begin{eqnarray*} P(\mid X - E(X) \mid \geq a)\leq \frac{Var(X)}{a²} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} P(\mid X - E(X) \mid \leq a) \geq 1 - \frac{Var(x)}{a²} \end{eqnarray*}$

schon klar dass das die gleiche Ungleichung ist nur umgeformt, aber wieso gibts dann beide und wann muss ich welche nehmen?

17.07.2005, 13:48

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Bist du dir sicher, dass du das mit Tschebyscheff lösen sollst? Bei deinem speziellen Problem nimmt man in der Statistik normalerweise als Konfidenzschätzung das, was in der Tabelle auf

http://de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzintervall

in der untersten Zeile vermerkt ist.

17.07.2005, 13:58

0001001

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Hallo,

ja bin mir sicher, da es in der Aufgabe so steht ( In Klammern). Hab auch die Lösung der Aufgabe, aber darum gehts mir gar nicht.
Ich will verstehen wie man die Ungleichung anwendet bzw wann man die mit 1-.... nimmt und wann die ohne 1-....

18.07.2005, 19:25

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Nimm die zweite Form

$\begin{eqnarray*} P\left(|X-E(X)|\leq a\right) \geq 1-\frac{\mathrm{var}(X)}{a^2} \end{eqnarray*}$

und zwar angewandt auf

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ... relative Häufigkeit einer fehlerhaften Lackierung .

Dann ist $\begin{eqnarray*} nX\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} E(X)=p,\;\mathrm{var}~X=\frac{p(1-p)}{n} \end{eqnarray*}$ , es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} P\left(|X-p|\leq a\right) \geq 1-\frac{p(1-p)}{na^2} \end{eqnarray*}$

Rechts müssen jetzt die 95% stehen, daraus kannst du dann das $\begin{eqnarray*} a=a(p) \end{eqnarray*}$ als Funktion des Parameters $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ bestimmen, den Stichprobenumfang $\begin{eqnarray*} n=500 \end{eqnarray*}$ kennst du ja.

Und jetzt kommt noch die eigentliche Schwierigkeit: In das Konfidenzintervall gehören all diejenigen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , für die

$\begin{eqnarray*} |x-p| \leq a(p)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

mit dem konkret vorliegenden Schätzwert $\begin{eqnarray*} x=\frac{24}{500} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Das eben war die Beschreibung der exakten Variante. Sehr oft verwendet man auch die Näherung $\begin{eqnarray*} p\approx x \end{eqnarray*}$ , also dann auch $\begin{eqnarray*} a(p)\approx a(x) \end{eqnarray*}$ und berechnet das Konfidenzintervall aus der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |x-p| \leq a(x) \quad\Longrightarrow\quad x-a(x) \leq p \leq x+a(x)\qquad (**) \end{eqnarray*}$ ,

was natürlich wesentlich einfacher, aber nicht exakt im Sinne der richtigen Bedeutung des Konfidenzintervalls ist.

P.S.: Bei Variante (*) muss man dann noch quadrieren und eine quadratische Ungleichung lösen, um an die Konfidenzintervallgrenzen zu kommen.

08.11.2005, 18:09

ichverstehalles

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boah geht das auch mal eben in einfach erklärt.

wann man welche Gleichung nimmt?

gibts da vielleicht auch so ne Eselsbrücke oder so?

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