Textbeispiel zu Differentialrechnung aus Mathematik 7 |
| 21.03.2004, 17:39 | Julian G. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Textbeispiel zu Differentialrechnung aus Mathematik 7 Ich hab am Donnerstag Mathematik Schularbeit zum Thema Differentialrechnung/Extremwertaufgaben. Wir verwenden im Unterricht das Buch "Mathematik 7" für AHS. Ich komm bei den Beispielen zu keinem richtigen Ansatz - drum helft mir bitte: Nr 1145: Die Bäckerei Mehlstaub hat elf Filialen. In jeder dieser Filialen erwirtschaftet sie einen mittleren wöchentlichen Gewinn von 560€. Eine Marktstudie hat ergeben, dass bei Eröffnung von weiteren Filialen der mittlere wöchentliche Gewinn jeder Filiale um 32€ pro neu eröffneter Filiale vermindert wird. Die finanzielle Situation der Fa. Mehlstaub erlaubt die Eröffnung von maximal acht weiteren Filialen. Wie viele weitere Filialen sollen eröffnet werden, damit der Gewinn möglichst groß wird? Wie hoch ist er? Nr 1147 Das Reisebüro "Coup de soleil", Spezialist für Urlaubsreisen in den sonnigen Süden, bietet 180 Flugpauschalreisen zum Preis von je 560€ an. Im vergangenen Jahr waren diese Reisen ausgebucht. Das Reisebüro muss damit rechnen, dass je 10€ Preiserhöhung drei Reisen weniger gebucht werden. Um wie viel wäre der Preis zu erhöhen, damit ein größtmöglicher Erlös erzielt wird? Wie hoch ist er? Nr 1148 Wie groß kann der absolute Fehler höchstens werden, wenn man im Intervall [0;1] die Werte der Funktion f mit f(x)=x^3 durch die entsprechenden Werte der Funktion g mit g(x)=x^2 ersetzt? Sind die Näherungswerte zu groß oder zu klein? Die ersten 2 Beispiele funktionieren nach dem gleichen Prinzip - gehn sicher einfach, aber ich glaube ich stehe ziemlich auf der Leitung. Ich bekomme einfach die Ansatzfunktion nicht hin. Beim dritten versteh ich das mit dem absoluten Fehler und dem Intervall nicht... Bitte helft mir, vielen dank Julian |
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| 21.03.2004, 17:45 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Textbeispiel zu Differentialrechnung aus Mathematik 7
Bei der ersten Aufgabe musst du die Anzahl der neu eröffneten Filialen als Variable in der Funktion haben. Die Funktion soll den Gewinn in Abhängigkeit von dieser Variablen, (sagen wir x) angeben. Und du weisst, dass sein muss. Kriegst du es mit diesen Tipps hin? |
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| 21.03.2004, 17:55 | Julian G. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
560*11 ist so also der Gewinn.
[0;8] ist also die Definitionsmenge aber richtig anfangen kann ich leider nix damit. ich hab schon herumprobiert mit 560*11=(11+x)(560-32). aber da waren wieder die Filialen nicht x... hhmmm wär super wenn du mir noch ein bisl helfen könntest Danke! |
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| 21.03.2004, 18:02 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
G(x)=(11+x)*(560-32x) Die 11+x sind die Anzahl der Filialen, also 11 bestehende, plus x Neue. Jede dieser Filialen macht ja den gewinn, deswegen wird die Anzahl der Filialen mit dem Gewinn, den jede einzelne Filiale macht, multipliziert. Dieser ist ja 560-32x, da der Gewinn ja um 32 Euro pro neueröffneter Filiale fällt. |
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| 21.03.2004, 19:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Textbeispiel zu Differentialrechnung aus Mathematik 7 Zu 1147. Bezeichne die Anzahl der 10.- € - Preissprünge mit x. Wenn der Erlös maximal sein soll, dann auch der Umsatz, und dieser ist gleich der Anzahl der Reisen mal dem Preis einer Reise. Pro 10.- € Preissprung werden es 3 Reisen weniger, daher verringert sich die Anzahl der Reisen nach x Preissprüngen um 3x. Der Umsatz - d.i. gleichzeitig die Zielfunktion - ist also f(x) = (180 - 3x)*(560 + 10x) Diese ist nun zu maximieren ... (Lösung: x = 2, ergibt 174 Reisen zu 580.-) Gr mYthos |
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| 21.03.2004, 20:04 | Julian G. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke vielmals! hat vielleicht noch jemand den ansatz für die anderen beiden? grüße, Julian |
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| 21.03.2004, 20:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Textbeispiel zu Differentialrechnung aus Mathematik 7 Zu 1148. Der in einem gegebenen Intervall vorliegende absolute Fehler fe(x) ist die Differenz der beiden Funktionen fe(x) = g(x) - f(x) An irgendeiner Stelle im Inneren des Intervalles [0;1] wird der Betrag der Abweichung maximal sein, denn an den Rändern, also bei x = 0 und bei x = 1 stimmen die beiden Funktionen in ihrem Funktionswert 1 überein und dort ist der Fehler 0. Wir können daher die Ränder des Intervalles nunmehr ausschliessen. fe(x) = x² - x³ Zur Verifizierung des Extremums (Vorzeichen der 2. Ableitung) müssen wir nachsehen, ob im betrachteten Intervall diese Differenz positiv ist: x² - x³ > 0, weil x² < x³ für 0 < x < 1 fe(x) = x² - x³ fe'(x) = 2x - 3x² fe''(x) = 2 - 6x fe'(x) = 0 ->> x*(2 - 3x) [x <> 0] x = 2/3 fe''(2/3) = 2 - 4 = -2 .. Maximum Da die Originalfunktion f(x) = x³ und die Ersatzfunktion g(x) = x² lauten, ist der abs. Fehler: fe(x) = fe(2/3) = 4/9 - 8/27 = +4/9 Die größte Abweichung (bei x = 0,66..) ist 0,44.. und positiv, die Näherungswerte sind also zu groß. Gr mYthos [edit] Bemerkung: Wenn du 1147 durchschaut (verstanden) hast, wirst du nunmehr auch das erste Beispiel fertig machen können, Ben hat es dir ja bereits aufbereitet! [/edit] |
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| 21.03.2004, 20:24 | Julian G. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
super Danke! |
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| 21.03.2004, 20:52 | tesat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hätt' gern die Lösungen um sie mit meinen zu vergleichen 
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| 21.03.2004, 22:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit dem Ansatz von Ben: .. x = 13/4 = 3,25 Da es nur ganze Filialen gibt, ist die Anzahl 11 der vorhandenen Filialen um 3 zu erweitern, somit sind es dann 14. Gr mYthos |
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| 21.03.2004, 22:11 | Julian G. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und 6496€ ist der Gewinn... grüße, Julian |
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