Integrierbarkeit?! |
| 17.07.2005, 14:06 | Sinchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Integrierbarkeit?! Es sei Q:= {(x,y,z) } der Einheitswürfel in . Wann ist eine Funktion f: Q --> integrierbar, und wie ist dann das Integral von f über Q definiert? Ich habe mir Gedanken gemacht, aber keinen blassen Schimmer. Bitte bitte um Hilfe. 
Danke schön 
Sinchen |
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| 17.07.2005, 14:10 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Integrierbarkeit?! ich kann dazu zwar momentan ncoh ncihts sagen,weil ichs selbst so nicht weiß, aber vielleicht bekommen wir es gemeinsam hin,w enn du mir mal deine überlegungen hinschreibst?? |
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| 17.07.2005, 15:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Integrierbarkeit?!
Da die Meßbarkeit von auf jeden Fall gegeben ist (egal, welche Integrationstheorie man heranzieht), kann es hier nur noch um den Charakter von gehen. Suchst du nun hinreichende Kriterien? Ein sehr spezielles, aber "in der Praxis" meist vorliegendes, ist natürlich die Stetigkeit von . Vielleicht solltest du einmal die ganze Aufgabe hier hereinstellen ... |
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| 17.07.2005, 17:20 | Sinchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ? Das ist die gesamte Aufgabe!! 
Ich weiß irgendwie nur, dass es wohl eine ganz allgemeine Antwort ist und auch nicht wirklich was mit dem Einheitswürfel zu tun hat. Ansonsten bin ich noch sehr ratlos.. 
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| 17.07.2005, 19:36 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verschoben |
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| 17.07.2005, 20:27 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Re: ? @Sinchen Wie Leopold schon leise angedeutet hat, ist eines aber noch wichtig: Über welchen Integralbegriff reden wir hier: Riemann-Integral (wie in der Schule kennengelernt) oder Lebesgue-Integral (Maßtheorie) ? |
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| 17.07.2005, 20:36 | Sinchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ?!
Ich nehme mal an, dass Riemann gemeint ist, da wir Lebesque in der Vorlesung nicht wirklich hatten. Nur mal so am Rande. Könnte mir denn jetzt jemand weiterhelfen? Dankäääää. Schreibe morgen die Klausur!! Sinchen |
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| 17.07.2005, 21:27 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Riemann-Integrierbarkeit Wie Leopold schon sagte, es lassen sich eine Reihe hinreichender Bedingungen für Integrierbarkeit angeben, wie z.B. Stetigkeit. Aber Bedingungen, die sowohl notwendig als auch hinreichend sind? Nun, da wäre die Definition des Riemann-Integrals selbst, sowie offensichtlich äquivalente Umformungen davon - aber du suchst vermutlich etwas einfacher Überprüfbares. Als Warnung will ich dir mal eine Funktion zeigen, die trotz ziemlich "verrückten" Funktionsverlaufs (unstetig an allen rationalen Punkten des Definitionsbereichs) trotzdem Riemann-integrierbar ist: Thread Riemann integrierbar? |
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| 17.07.2005, 21:35 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht ja hier um den dreidimensionalen Fall. Im eindimensionalen gilt ja folgendes Lebesguesches Integrabilitätskriterium: Eine Funktion ist genau dann auf R-integrierbar, wenn sie beschränkt und fast überall stetig ist. Leider kenn ich mich mit mehrdimensionaler Analysis nicht aus, aber vll lässt sich das ja übertragen!? 
Gruß MSS |
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| 17.07.2005, 21:48 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja, und wie versteht man "fast überall" ohne Maßtheorie?
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| 17.07.2005, 22:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe keine Ahnung von Maßtheorie, aber was eine Nullmenge ist, weiß ich trotzdem. Das heißt zwar nur, dass ich die Definition kenne und nicht dass ich das alles schon durchblicke, aber Heuser z.B. gibt die Definition einer Nullmenge schon in Ana1 und beweist diesen Satz sogar.
Gruß MSS edit:@Arthur Wie sieht es denn jetzt aus? Überträgt sich das obige Kriterium denn auf den n-dimensionalen Fall? |
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| 18.07.2005, 10:50 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es. Der Integralwert ist dann übrigens von den Funktionswerten auf der Ausnahme-Nullmenge unabhängig, so dass man z.B. bei hebbaren Unstetigkeiten an diesen Stellen die Integranden-Funktion zwecks einfacherer Integralberechnung durch die "behobene" Version ersetzen kann. Im schon angesprochenen Beispiel Riemann integrierbar? wäre diese "behobene" Version dann einfach die Nullfunktion. |
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| 18.07.2005, 13:42 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke für die Info, dass das dann auch gilt. Das mit der Unabhängigkeit kannte ich im eindimensionalen Fall (natürlich) auch. Aber trotzdem danke! 
Gruß MSS |
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