volumen mit papula formel! hilfe!

17.07.2005, 14:35

TobsenMH

volumen mit papula formel! hilfe!

im papula bd II s. 401 steht folgende formel für das volumen eines körpers:

$\begin{eqnarray*} V= \int_{x=a}^{b} \int_{y=fu(x)}^{fo(x)} \int_{z=zu(x,y)}^{zo(x,y)}~dz~dy~dx \end{eqnarray*}$

es wäre super, wenn mir das mal jemand an hand einer beispielaufgabe erklären würde...

kann diese sein, muss aber nicht:

bestimmen sie das volumen des körpers, der für $\begin{eqnarray*} x\geq 0, y\geq 0 \end{eqnarray*}$ von folgenden flächen begrenzt wird:

$\begin{eqnarray*} z=x^2*y^3, z= 2xy, x+y^2=1 \end{eqnarray*}$

EDIT: es muss natürlich auch nicht DIE formel aus dem papula sein...

17.07.2005, 19:27

Mathespezialschüler

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Verschoben

17.07.2005, 19:34

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Die z-Grenzen dürften klar sein, dass sind einfach die beiden Flächen z=...

Die Frage ist nur, über welches x-y-Gebiet zu integrieren ist - dazu folgende Skizze:

17.07.2005, 19:57

TobsenMH

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hmmm, das mit den z grenzen hab ich mir fast schon so gedacht.... ABER: welches ist die obere, welches die untere grenze? zunächst ist $\begin{eqnarray*} z= x^2*y^3 \end{eqnarray*}$ ja meine kleinere funktion....

um an die rote funktion zu kommen, hast du beide z funktionen gleich gesetzt und nach y aufgelöst, richtig?

...das wäre dann ja auch der punkt, an dem meine o.g. kleinere funktion sich dann mit $\begin{eqnarray*} z=2xy \end{eqnarray*}$ schneidet und somit nicht mehr die kleinere funktion wäre...

wären meine y grenzen dann also $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ als untere und $\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{2}{x} } \end{eqnarray*}$ als obere grenze?

und wie ist das mit der oberen grenze von x? 0 ist doch vermtl. die untere, oder!?

hmmm, alles i-wie sehr schwer zu verstehen, wenn der prof das nur mal eben schnell so zeigt... habt ihr noch hilfeiche linktips?

17.07.2005, 20:02

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Zitat:

Original von TobsenMH
um an die rote funktion zu kommen, hast du beide z funktionen gleich gesetzt und nach y aufgelöst, richtig?

Richtig

Zitat:

Original von TobsenMH
zunächst ist $\begin{eqnarray*} z= x^2*y^3 \end{eqnarray*}$ ja meine kleinere funktion....

... und das ist auch der einzig sinnvolle Fall hier. Im anderen Fall, also oberhalb der roten Kurve ergibt sich dann leicht ersichtlich ein unendliches Volumen, und das war es sicher nicht, was hier gesucht wird. Außerdem ist dort die Fläche $\begin{eqnarray*} x+y^2=1 \end{eqnarray*}$ keine Begrenzung.

18.07.2005, 09:36

TobsenMH

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danke arthur, so langsam kommt licht ins dunkle...

aber das mit den x grenzen ist mir noch unklar:

Zitat:

und wie ist das mit der oberen grenze von x? 0 ist doch vermtl. die untere, oder!?

18.07.2005, 11:42

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Zitat:

Original von TobsenMH
wären meine y grenzen dann also $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ als untere und $\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{2}{x} } \end{eqnarray*}$ als obere grenze?

So ist es für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ ist die untere Grenze dann aber 0; die obere Grenze bleibt wie gehabt $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{x}} \end{eqnarray*}$ .

20.07.2005, 17:02

TobsenMH

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habe jetzt weitere aufgaben gerechnet und bin eigentlich ganz gut zu recht gekommen... aber bei dieser hier brauche ich nochmal hilfe, da ich die lösung nicht nachvollziehen kann:

Berechen Sie das Volumen des Körpers K, der im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} K=\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 : \mid x \mid +\mid y \mid +\mid z \mid \leq 1\} \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Der Lösungsansatz sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} V= 8 \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-y-x}~dz ~dy ~dx \end{eqnarray*}$

die grenzen sind mir klar, aber wo kommt die 8 her? wird da jeweils ein faktor 2 aus den integralen gezogen? wenn ja: warum? verwirrt

20.07.2005, 17:58

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$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist bzgl. xy-, yz- und auch zx-Ebene spiegelsynnetrisch, also ist der Volumenanteil an $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ in allen 8 Oktanten gleich. Reicht also, einen davon zu berechnen und mit 8 zu multiplizieren.

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