Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

17.07.2005, 15:45

seb

Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

Hi,
ich soll für die folgende Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} n_{1}Rn_{2} \leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}(4k=3n_{1}-3n_{2}) \end{eqnarray*}$ die Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [2]_{R} \end{eqnarray*}$ angeben, nur weiss ich nicht wie ich das machen soll mit dem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ da drin.

Danke fuer eure hilfe.

17.07.2005, 16:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute, die Äquivalenzrelation ist über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ definiert. Stimmt das? (Bitte Angaben vollständig mitteilen!)
Dann kommt es darauf an, ob du dich mit Kongruenzrechnung etwas auskennst. Dann geht es nämlich ganz schnell. Ansonsten müßte man einen elementaren Zugang beschreiten. Auch das ist nicht allzu schwer.

Vielleicht beginnen wir einmal so:

"Es gibt ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 4k = \text{blablabla} \end{eqnarray*}$ " heißt so viel wie " $\begin{eqnarray*} \text{blablabla} \end{eqnarray*}$ ist durch 4 teilbar", also eine Zahl der Viererreihe
... , -16 , -12 , -8 , -4 , 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , ...

17.07.2005, 16:37

seb

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Ich vermute, die Äquivalenzrelation ist über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ definiert. Stimmt das? (Bitte Angaben vollständig mitteilen!)

Ups, hab ich vergessen, die Relation ist in der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ defineirt.

Zitat:

Original von Leopold
"Es gibt ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 4k = \text{blablabla} \end{eqnarray*}$ " heißt so viel wie " $\begin{eqnarray*} \text{blablabla} \end{eqnarray*}$ ist durch 4 teilbar", also eine Zahl der Viererreihe
... , -16 , -12 , -8 , -4 , 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , ...

heist das ich habe 4 Äquivalenzklassen? Die jeweils für den Rest beim teilen durch 4 stehen?

17.07.2005, 16:41

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip heißt es das. Aber weißt du auch warum?

17.07.2005, 16:56

seb

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht wirklich, weil eigentlich ist das keine wirkliche Modulo Funktion wo das so sein müsste.

17.07.2005, 17:01

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Kern geht es um den Term

$\begin{eqnarray*} 3n_1-3n_2 = 3(n_1-n_2) \end{eqnarray*}$

Dessen Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ soll Merkmal dafür sein, daß $\begin{eqnarray*} n_1 \sim n_2 \end{eqnarray*}$ ist (ich benutze die Schlange zur Angabe der Äquivalenz). Wenn aber eine ganze Zahl durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ teilbar ist, so müssen die beiden $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ en aus der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ in ihrer Faktorzerlegung vorkommen. Was heißt das nun für $\begin{eqnarray*} 3(n_1-n_2) \end{eqnarray*}$ ?

17.07.2005, 17:13

seb

Auf diesen Beitrag antworten »

so ganz klar wird mir das nicht..

Willst du damit jetzte sagen das $\begin{eqnarray*} n_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_{2} \end{eqnarray*}$ zwei $\begin{eqnarray*} 2\text{en} \end{eqnarray*}$ als Primfaktoren besitzen müssen?

17.07.2005, 17:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann doch die Zahl $\begin{eqnarray*} 3(n_1-n_2) \end{eqnarray*}$ sich in Primfaktoren zerlegt denken.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} n_1 = 317 \, , \ n_2 = 107 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot (317-107) = 3 \cdot 210 = 3 \cdot 2 \cdot3 \cdot 5 \cdot 7 \end{eqnarray*}$

Und diese Zahl ist offenbar nicht durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ teilbar, weil ihre Primfaktorzerlegung nicht zwei $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ en enthält. (Die Zahlen $\begin{eqnarray*} 317 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 107 \end{eqnarray*}$ gehören also nicht derselben Äquivalenzklasse an.)

Jetzt soll aber $\begin{eqnarray*} 3(n_1-n_2) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ teilbar sein. Was heißt das also?

17.07.2005, 17:32

seb

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Jetzt soll aber $\begin{eqnarray*} 3(n_1-n_2) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ teilbar sein. Was heißt das also?

das $\begin{eqnarray*} n_1-n_2 \end{eqnarray*}$ auch durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ teilbar sein muss

17.07.2005, 17:44

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es! Die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ist da nur eingefügt, um die Aufgabe schwerer aussehen zu lassen, als sie in Wirklichkeit ist.

Halten wir also fest:

$\begin{eqnarray*} n_1 \sim n_2 \ \ \Leftrightarrow \ \ 4 \ | \ n_1-n_2 \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist $\begin{eqnarray*} n_1=2 \end{eqnarray*}$ . Dann suche doch einmal $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ , die passen - und alle passenden $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ bilden deine Äquivalenzklasse (in der $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ liegt).

17.07.2005, 18:02

seb

Auf diesen Beitrag antworten »

also 2, 6, 10 ,14, ..

das koennt man dann so umschreiben, oder?
$\begin{eqnarray*} [2]_R = \{ n_1, n_2 \in \mathbb{N} \mid n_1-n_2 \equiv 2(mod 4) \} \end{eqnarray*}$

17.07.2005, 23:05

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} [2]_R = \left\{ 2,6,10,14,\ldots \right\} \end{eqnarray*}$

ist richtig, die beschreibende Darstellung aber nicht. Die müßte so heißen:

$\begin{eqnarray*} [2]_R = \left\{ \, n \in \mathbb{N} \, \left| \, n \equiv 2 \, (4) \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

oder in Komplexschreibweise:

$\begin{eqnarray*} [2]_R = 2 + 4 \, \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

wobei hier die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ zu den natürlichen Zahlen gerechnet wird.

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

Verwandte Themen