lin Abbildung Standardbasis Vektorraum

31.01.2008, 12:08

Browny

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lin Abbildung Standardbasis Vektorraum

Hallo Leute Wink

Wink

ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe mit einer linaeren Abbildung.

Ich will darauf hinweisen, das es sich hier um eine Übungsaufgabe handelt und ich diese nur eingestellt habe um nach Tipps zufragen. Ich will diese Aufgabe keines wegs gelöst haben. Aber zum vollständigen Verständnis, damit andere überhaupt wissen was ich will musste ich diesen Schritt machen.

ich hoffe das ist so in Ordung

Der Vektorraum ist V:= $\begin{eqnarray*} \mathbb K _{2X2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb K^4 \end{eqnarray*}$

Ich habe 4 Einheitsmatrizen wie diese: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die Einsen sind bei alle 4 angebenen Matrizen woanders.

Jetzt soll ich ein B elemet von V fest wählen und die linearen
Abbildungen V--->V durch z.B A1(X):=BX, und A2(X):=XB

Danach soll ich noch die Darstellungsmatrizen bezüglich der Standardbasis für V bestimmen.

Ich weiß wircklich überhaupt ganz und garnicht was ich hier machen soll und wie ich anfangen soll. unglücklich

unglücklich

Ich hoffe mir kann jemand hilfreiche Tipps geben. Gott

Gott

31.01.2008, 13:06

system-agent

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Komplettlösungen wirst du hier auch nicht bekommen smile

smile

Nur deine Aufgabe hast du leider ziemlich unverständlich gestellt. Was ich bisher glaube verstanden zu haben:
Du hast einen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ und den Vektorraum der 2x2-Matrizen über $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ , das heisst $\begin{eqnarray*} V=\mathbb K^{2\times2} \end{eqnarray*}$ .
Du hast eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gegeben, durch
$\begin{eqnarray*} \mathcal B=\left(B_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0& 0 \end{pmatrix} ,B_2=\begin{pmatrix} 0 &1 \\0& 0 \end{pmatrix} ,B_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\1& 0 \end{pmatrix} ,B_4=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0&1\end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Ich steig nicht ganz durch wie du nun deine lineare Abbildung bekommst?
Vielleicht tippst du die Aufgabe selbst mal ab Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ein Tipp zur Darstellungsmatrix:
Die Spalten dieser Matrix sind die Bilder der Basisvektoren...

31.01.2008, 13:31

Browny

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Ok hier die Aufgabe: smile

smile

Wenn wir den Vektorraum V:= $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{2x2} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \mathbb K^2 \end{eqnarray*}$ identifizieren, so ist die Standardbasis gegeben durch die Matrizen (die du oben schon Geschrienben hast asl Basen) Augenzwinkern

Augenzwinkern

1.Wähle nun B $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V fest und definiere lineare Abbildungen V--->V

durch A1(X):= BX , A2(X):= XB , A3(X):= BX-XB

2. Man bestimme ihre Darstellungsmatrizen bezüglich der Standardbasis für V

so lautet die Aufgabe, hoffe du kannst was damit anfangen system-agent.

Meine erste Idee ist immer eine von den 4 Matrizen als B fest zu wählen und dann jedes einzelne immer für A1, A2 und A3 zu berechnen. Ist dieser ansatz richtig. aber wie sehe ioch die linearität und was ist mit dem zweiten Teil gemeint?

31.01.2008, 13:38

WebFritzi

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Zitat:

Original von Browny
Meine erste Idee ist immer eine von den 4 Matrizen als B fest zu wählen und dann jedes einzelne immer für A1, A2 und A3 zu berechnen.

Nein, natürlich nicht. B soll irgendeine (wahrscheinlich feste, aber beliebige) 2x2-Matrix sein.

31.01.2008, 13:40

system-agent

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Wie soll man denn $\begin{eqnarray*} \mathbb K^{2\times2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb K^2 \end{eqnarray*}$ identifizieren?

Ok, dann ist also $\begin{eqnarray*} X\in\mathbb K^{2\times2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Nun also muss man die Abbildung an den Standardbasen auswerten:
$\begin{eqnarray*} A_1(B_1)=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

usw.

31.01.2008, 13:49

Browny

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Ah ja ok das mache ich auch gerade

habe nähmlich nochmal drüber nachgedacht danke! Freude

Freude

aber eine Frage muss ich jetzt das ganze mti B ist klar aber auch wieder mit der selben gewählten Matrix für A2 und A3 rechnen und das dann mit den 3 übirgen obigen Mtrizen wiederholen?

ich denke schon oder?

wenn ich das dann gemacht habe weiß ich aber immer noch nicht was ich damit jetzt erreicht habe unglücklich

unglücklich

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31.01.2008, 13:51

system-agent

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Wie ich schon sagte:
Die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren. Was du dann für jede Abbildung berechnet hast sind ja gerade die Bilder der Basisvektoren unter der jeweiligen Abbildung.

31.01.2008, 13:56

Browny

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Achso

und was ist mit Teil 2 gemeint da soll ich Darstellungsmatizen bezüglich der Standardbasis für V bestimmen

kannst du mir dazu auch einen Tipp geben

Ich hoffe diese Frage ist jetzt nicht zu dumm Hammer

Hammer

31.01.2008, 14:01

system-agent

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Das was wir bisher gemacht haben ist doch schon Teil 2.

Vielleicht ist auch noch einmal hilfreich fürs aufschreiben:
Nehmen wir an, du hast $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 1 & 7\\ 0 & -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist:
$\begin{eqnarray*} C=1\cdot B_1+7\cdot B_2+0\cdot B_3-2\cdot B_4 \end{eqnarray*}$
das bedeutet:
Die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ sind: $\begin{eqnarray*} (1,7,0,-2) \end{eqnarray*}$

Wenn man nun eine Basismatrix genommen hat und ihre Koordinaten bestimmt, bekommt man ihr Bild bzgl der Standardbasis. Und ihr Bild ist eine Spalte der Darstellungsmatrix...

31.01.2008, 14:08

Browny

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Also so habe ich das gar nicht gerechnet aber gut zu wissen LOL Hammer

LOL Hammer

also muss ich das jetzt auf A1 A2 und A3 so anwenden und das dann ausrechnen ?

so verstehe ich es jedenfall aus deinen Worten

31.01.2008, 14:13

Browny

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ich habe das mal für A1 versuch dann kriege ich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das so korrekt und jetzt das selbe mit A2 und A3 machen?

31.01.2008, 14:14

system-agent

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Ganz genau. Berechne die Koordinaten von
$\begin{eqnarray*} A_1(B_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_1(B_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_1(B_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_1(B_4) \end{eqnarray*}$

Dann ist die Darstellungsmatrix
$\begin{eqnarray*} D_{A_1}=\left(v_1^T\,|\,v_2^T\,|\,v_3^T\,|\,v_4^T\right) \end{eqnarray*}$

wobei das " $\begin{eqnarray*} ^T \end{eqnarray*}$ " die Transposition meint (einfach dass die Vektoren als Spalten dastehen) und $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_4\in\mathbb K^4 \end{eqnarray*}$ die Koordinaten bzgl $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ .

Edit:
Blödsinn entfernt smile

smile

31.01.2008, 14:15

system-agent

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Was machst du denn da?

Es ist:
$\begin{eqnarray*} A_1(B_1)=\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

31.01.2008, 14:18

Browny

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Ok jetzt bin ich verwirrt

ich habe das auf A1 angewendet das kann aber irgenwie nicht korrekt sein

achje unglücklich

unglücklich

ok anders was ist das C bei dir? können wir das nicht anhand von meinem machen sonst verwirrt mich das nur???
wie du siehst Hammer

Hammer

31.01.2008, 14:19

Browny

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Achso ja ok das hatte ich ebend auch raus aber du hast mich mit dem was du da geschrieben hast verwirrt Freude

Freude

31.01.2008, 14:21

system-agent

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Ja, tut mir leid, ich hab einen Fehler gemacht und wieder wegeditiert.

31.01.2008, 14:22

Browny

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dann werde ich das jetzt erstmal alles durchrechnen und wenn ich hilfe brauch, was ich nicht hoffe schreibe ich einfach wieder Wink

Wink

31.01.2008, 14:49

Browny

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ok ich habe jetzt alles für A1 A2 und A3 berechnet.

Ao nun muss ich das jetzt z.B wie du geschrieben hast für A1 asl Darstellungsmatrix aufschreiben.

ok folgendes Problem habe ich

ich will das jetzt las Darstellungsmatrix schreiben aber so wie du das schreibst verstehe ich noch nicht ganz.

Also ich kriege ja z.B für A1(B1)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie bildes du jetzt v1 ? oder ist v1=0 wenn ich das berechne kommt das zumindest raus und wie ist das mit transponiert gemeint muss ich as vorher machen?

31.01.2008, 14:51

Browny

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v2(transp.)
v3(transp.)
und v4 (tansp.)

muss ich dann ja nur noch bestimmen dann hätte ich das ja schon oder

31.01.2008, 14:53

Browny

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achso ok das mit Transponiert verstehe ich schon alles klar aber hast su dann für v1=0 auch raus.

ich weiß ja das ich den rest (v2, v3, v4 )auch noch machen muss aber ich will es nur für v1 wissen dann weiß ich schon was getan werden muss

31.01.2008, 15:44

system-agent

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Nein, es ist ja
$\begin{eqnarray*} A_1(B_1)=\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}=a\cdot B_1+0\cdot B_2+c\cdot B_3+0\cdot B_4 \end{eqnarray*}$

und daher ist $\begin{eqnarray*} v_1=(a,0,c,0) \end{eqnarray*}$

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