Differentialgleichungen: Separation der Variablen

17.07.2005, 18:34	PsychoCat	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen: Separation der Variablen Ich habe folgende Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} u'(t)=2\sqrt{\|u(t)\|} \end{eqnarray}$ und soll diese mit Separation der Variablen lösen. Das geht ja so, dass ich $\begin{eqnarray} u'(t)g(u(t))=h(t) \end{eqnarray}$ habe und dann ist die Lösung $\begin{eqnarray} u(t)=G^{-1}(H(t)-c) \end{eqnarray}$ Also habe ich $\begin{eqnarray} \frac{u'(t)}{2\sqrt{\|u(t)\|}}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{1}{2\sqrt{\|x\|}} \end{eqnarray}$ gesetzt dann ist $\begin{eqnarray} G(x)=sgn(x)\sqrt{\|x\|} \end{eqnarray}$ So und jetzt brauche ich $\begin{eqnarray} G^{-1} \end{eqnarray}$ und mein Problem dabei ist die ganze Zeit dieses Absolutzeichen.. wenn ich das mit Fallunterscheidung mache, kommt am Ende raus $\begin{eqnarray} u(t)=(t-c)^2 \end{eqnarray}$ bzw wo u(t)<0 ist $\begin{eqnarray} u(t)=-(t-c)^2 \end{eqnarray}$ aber für welche t ist denn jetzt was die richtige Lösung, blicke da irgendwie nicht durch Achso die richtige Lösung ist soweit ich weiß, dass ersteres gilt bei t>c und letzteres bei t<c Und wenn ich dann alles irgendwie habe, dann ist die allgemeine Lösung ja eine Zusammensetzung von den beiden Teilen und u(t)=0, aber wie diese Zusammensetzung dann genau aussieht weiß ich leider auch nicht Vielen Dank für jede Hilfe!
17.07.2005, 18:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist etwas zu schnell über folgende Stelle hinweggeprescht: $\begin{eqnarray} G(u(t))=H(t)-c \end{eqnarray}$ oder bei dir dann $\begin{eqnarray} \mathrm{sgn}(u(t))\cdot\sqrt{\|u(t)\|} = t-c \end{eqnarray}$ . Da nun aber $\begin{eqnarray} \sqrt{\|u(t)\|}>0 \end{eqnarray}$ für alle t mit $\begin{eqnarray} u(t)\neq 0 \end{eqnarray}$ gilt, folgt zwangsläufig $\begin{eqnarray} \mathrm{sgn}(u(t)) = \mathrm{sgn}(t-c) \end{eqnarray}$ für diese t's. Also muss - wie du unten dann richtig geschrieben hast - für t<c unbedingt u(t)<0 und für t>c unbedingt u(t)>0 gelten. Und damit sollte die Auswahl des jeweils richtigen Zweiges klar begründet sein.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »