Steckbrief-Aufgabe für Funktion dritten Grades

17.07.2005, 21:19

Caleb666

Steckbrief-Aufgabe für Funktion dritten Grades

Hallo,

habe folgende Aufgabe gestellt bekommen und hab beim aufstellen der Gleichungen noch ein paar Probleme:

Aufgabe: Ein Polynom 3. Grades hat im Punkt(2;0) die Steigung -2 und im Punkt (1;1) seinen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Funktion.

Mein bisheriger Ansatz:

Polynon 3. Grades --> $\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

Die ersten beiden Gleichungen habe ich anhand der gegebenen Punkte aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} a*2^3+b*2^2+c*2+d = 0 \end{eqnarray*}$ (=Punkt 2;0)
$\begin{eqnarray*} a*1^3+b*1^2+c*1+d = 1 \end{eqnarray*}$ (=Punkt 1;1)

Wie gehts weiter, bzw. stimmt der Ansatz überhaupt??

edit: Titel geändert, bitte einen etwas besser passenden Titel wählen! (MSS)

17.07.2005, 21:26

Mathespezialschüler

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Ja, deine Bedingungen sind bis jetzt richtig!
Überleg mal:
Was bedeutet, dass die Steigung beim Punkt (2,0) -2 ist? Denke an die erste Ableitung!
Und was bedeutet es, dass bei ein Punkt ein Wendepunkt ist? Denke dabei an die zweite Ableitung!
Schaffst du es jetzt, die nötigen Bedingungen aufzustellen? Augenzwinkern

Gruß MSS

17.07.2005, 21:31

Caleb666

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RE: Steckbrief-Aufgabe für Funktion dritten Grades
Bedeutet das das ich das Polynom $\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$
1x ableiten muß und gleich -2 setzen soll??

Wie mach ichs beim Wendepunkt??

Bräuchte noch etwas Hilfe....

17.07.2005, 21:38

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Caleb666
Bedeutet das das ich das Polynom $\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$
1x ableiten muß und gleich -2 setzen soll??

Fast. Die Bedingung lautet doch

$\begin{eqnarray*} f'(2)=-2 \end{eqnarray*}$ .

Du leitest ab, setzt 2 in die Ableitung ein und setzt das =-2. Das ist die nächste Gleichung. Beim Wendepunkt muss die zweite Ableitung 0 sein. Dann kriegst du wieder solch eine Gleichung. Augenzwinkern

Gruß MSS

17.07.2005, 22:04

Caleb666

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RE: Steckbrief-Aufgabe für Funktion dritten Grades
Das heißt die 1. Ableitung von $\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} 3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

---> 3. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 3a*2^2+2b*2+c*0 = -2 \end{eqnarray*}$

2. ABleitung von $\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} 6ax +bx \end{eqnarray*}$

----> 4. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 6ax+bx+0+0 = 0 \end{eqnarray*}$

Irgendwas sagt mir das meine Ableitungen nicht stimmen??!?! verwirrt

17.07.2005, 22:38

Mathespezialschüler

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Es muss $\begin{eqnarray*} +c\cdot 1 \end{eqnarray*}$ heißen und nicht $\begin{eqnarray*} +c\cdot 0 \end{eqnarray*}$ .
Desweiteren überprüfe deine zweite Ableitung! Die erste ist richtig, aber die zweite nicht. Was ist 2bx abgeleitet?
Und dann gewöhne dir doch an, noch ein f davor zu schreiben und das dann auch für die Ableitungen zu benutzen, um nicht schreiben zu müssen
"Die 1. Ableitung von ... = ...",
sondern $\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$ schreiben zu können.
Das f(x) gehört ja sowieso dazu, damit es eine Funktion wird ...

Gruß MSS

17.07.2005, 23:01

Caleb666

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RE: Steckbrief-Aufgabe für Funktion dritten Grades
ok, dann heißen die Gleichungen wie folgt:

$\begin{eqnarray*} a*2^3+b*2^2+c*2+d = 0 \end{eqnarray*}$ (=Punkt 2;0)
$\begin{eqnarray*} a*1^3+b*1^2+c*1+d = 1 \end{eqnarray*}$ (=Punkt 1;1)
$\begin{eqnarray*} 3a*2^2+2b*2+c + 0 = -2 \end{eqnarray*}$ (=Steigung)
$\begin{eqnarray*} 6ax +2b +0 +0 = 0 \end{eqnarray*}$ (=Webdepunkt)

Passt dann die folgende Aufstellung???

8 | 4 | 2 | 2 | = 0
1 | 1 | 1 | 1 | = 1
12 | 4 | 1 | 0 | = -2
6 | 2 | 0 | 0 | = 0

Danke für eure Hilfe

17.07.2005, 23:11

Mathespezialschüler

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Alles richtig, bis auf die letzte:

Zitat:

Original von Caleb666
$\begin{eqnarray*} 6ax +2b +0 +0 = 0 \end{eqnarray*}$ (=Webdepunkt)

Es ist ja die Bedingung $\begin{eqnarray*} f''(1)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann musst du aber auch 1 für x einsetzen! Also:

$\begin{eqnarray*} 6a\cdot 1+2b+0+0=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist es richtig. Und jetzt lösen! Augenzwinkern

Gruß MSS

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