scheinwerfer auf leinwand

31.01.2008, 15:19

manito

scheinwerfer auf leinwand

Hi,
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Eine rechteckige Leinwand wird von einem Scheinwerfer angestrahlt, der einen Lichtkegel erzeugt.
A(8/20/0); B(-4/26/0); C(-2/30/12) und D bilden die Ecken der Leinwand.
Der Scheinwerfer befindet sich im Punkt P(-9/1/16).

Zunächst sollte man D bestimmen: D(10/24/12)
Für die Ebene in der die Leinwand liegt hab ich $\begin{eqnarray*} 6x_1+12x_2-5x_3=288 \end{eqnarray*}$ raus.
Die senkrechte Verbindung von P zu dieser Ebene ist genau Mittelpunkt des Rechteckes M(3/25/6).

Jetzt die Frage:
Der Öffnungswinkel des Lichtkegels betrage 36°. Der Scheinwerfer wird von P aus orhtogonal zur Leinwand so weit bewegt, bis sein gesamtes Licht vollständig auf die Leinwand trifft. Bestimmen sie die Koordinaten der neuen Scheinwerferposition.

Ich hab mir überlegt:
Das ganze Licht liegt ja auf der Leinwand wenn der Lichtkreis dem Rechteck genau einbeschrieben ist, also die Mitte der 2 längeren Seiten berührt. Lieg ich da richtig?
Aber wie mach ich jetzt weiter? Ich weiß ja, dass der neue Punkt irgendwo auf der Lotgeraden durch P auf die Ebene liegt. Trotzdem komm ich hier irgendwie nicht weiter bzw. finde keinen passenden Ansatz den Punkt zu bestimmen.

Schonmal Danke für jegliche Hilfe

31.01.2008, 17:19

riwe

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RE: scheinwerfer auf leinwand
ich hätte es umgekehrt verstanden:
das licht liegt zur gänze auf der leinwand, wenn der schnittkreis des lichtgekels inkreis des rechtecks ist, daher die beiden kürzeren seiten als tangenten hat.

dann hast du zwischen den beiden vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P^\star M}_{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P^\star M} \end{eqnarray*}$ einen wikel von $\begin{eqnarray*} \alpha=18° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P^\star \end{eqnarray*}$ liegt auf der lotrechten geraden durch M bzw. P und wozu gibt es das skalarprodukt verwirrt

31.01.2008, 17:33

manito

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RE: scheinwerfer auf leinwand

Zitat:

Original von riwe
ich hätte es umgekehrt verstanden:
das licht liegt zur gänze auf der leinwand, wenn der schnittkreis des lichtgekels inkreis des rechtecks ist, daher die beiden kürzeren seiten als tangenten hat.

versteh ich nicht, wie soll das gehen, inkreis ist mir schon klar, aber wenn die kürzeren seiten tangenten sind schaut er doch bei den längeren drüber hinaus?!

muss ich dann quasi nur $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P^\star M}\cdot\overrightarrow{MM_{AB}} \end{eqnarray*}$ =0 nach t oder so auflösen, da ja P* durch die Gerade allgemein geben ist?

31.01.2008, 18:08

riwe

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RE: scheinwerfer auf leinwand
nein, dann schaut er nicht drüber raus,
aber das kann eh genauso gut so sein wie du meinst.
das ist äußerst diffus formuliert, wie es da steht.

gibt es da einen o-ton dazu verwirrt

der weg bleibt aber gleich:

bilde das skalarprodukt der beiden vektoren (NICHT = 0 sondern = cos18° unglücklich

)
und löse dann nach t auf, setze in g ein und du bekommst so den gesuchten punkt

31.01.2008, 18:41

riwe

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RE: scheinwerfer auf leinwand
übrigens sollte das ein einfacherer weg sein:
schau dir das ganze 2-dimensional in der ebene $\begin{eqnarray*} MPM_{AB} \end{eqnarray*}$ an.

dann sieht man verwirrt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}^\star=\overrightarrow{OM}+\frac{|\overrightarrow{MM}_{AB}|}{tan\alpha}\cdot\frac{\overrightarrow{MP}}{|\overrightarrow{MP}|} \end{eqnarray*}$

31.01.2008, 21:24

manito

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das war bereits der O-Ton smile

aber wenn ich mir n Rechteck zeichne krieg ich mim zirkel nur so n kreis da rein verwirrt

aber wenn dann muss ich das ja so berechnen : $\begin{eqnarray*} cos18=\frac{\overrightarrow{P^*M}\cdot\overrightarrow{P^*M}_{AB}}{|\overrightarrow{P^*M}|\cdot|\overrightarrow{P^*M}_{AB}|} \end{eqnarray*}$
oder nicht? und das gibt ja ne mega umständliche rechnung ^^

die lösung in der eben wird wohl die bessere sein
danke für die hilfe

31.01.2008, 21:39

riwe

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Zitat:

Original von manito
das war bereits der O-Ton smile

aber wenn ich mir n Rechteck zeichne krieg ich mim zirkel nur so n kreis da rein verwirrt

ja das ist eine mordswursterei über das skalarprodukt,
aber es kommt tatsächlich dasselbe raus unglücklich

mache es über den weg nr.2

und so schaut es in 3D aus.

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