Wachstum spezieller Funktionen

31.01.2008, 16:25

The_Unknown

Wachstum spezieller Funktionen

Hallo,

ich habe, wie an meinen Beiträgen zur Zeit zu sehen, viel mit Grenzwerten zu kämpfen und habe da mal eine Frage bezüglich der Wachstumsraten spezieller Funktionen.

Es kommt häufig vor, dass man etwas stehen hat wie:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{ln x}{e^x} \end{eqnarray*}$

Nun ist es nicht ohne weiteres möglich zu sagen, wohin der Grenzwert geht, denn beide gehen gegen unendlich. Das Problem ist nur, welche geht schneller gegen unendlich, damit das ganze dann evenetuell zur "Nullfolge" wird.

Also meine Frage ist, wie ist die Priorität in punkto Wachstum, wenn x gegen unendlich geht ?

Meine Annahme wäre die folgende, vielleicht stimmt sie ja auch schon (wobei < in diesem Fall "wächst langsamer als" heißen soll):
Konstante<x<ln x<x²<x³<...<x^n<e^x<x^x

Kommt das so hin ?

Ciao The_Unknown

31.01.2008, 16:26

tmo

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vertausche $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und es stimmt.

31.01.2008, 18:11

The_Unknown

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Alles klar. Danke !!

31.01.2008, 20:07

The_Unknown

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Ach so, eine Kleinigkeit ist mir noch aufgefallen:
Wenn man das Beispiel von oben nimmt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{ln x}{e^x} \end{eqnarray*}$
hat man ja, wenn man ganz formell vorgeht, einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$
Nur wächst wie oben beschrieben der lnx wesentlich langsamer an, als e^x.
Also könnte man eigentlich daraus schließen, dass das untere unendlich schneller erreicht wird als das obere und dadurch der GW 0 ist. Wäre das aber in der Klaursur ok ?

Weil wenn man ganz nach den Regeln vorgeht, müsste man bei $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ die Regel von l'Hospital anwenden, wodurch folgender Term entstünde:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{e^x}{x} - lnx*e^x}{e^{2x}} \end{eqnarray*}$

Nur ist das nicht mehr zu einfach auszurechnen.

Welche Variante wäre klausurmäßig ok ?

BTW: Was macht man eigentlich bei $\begin{eqnarray*} \frac{0}{\infty } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{ 0} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für eure Mühe.

31.01.2008, 20:21

tmo

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schau dir die regel von l'hospital noch mal an...

und klausurmäßig wäre $\begin{eqnarray*} e^x > 1+x+\frac{x^2}{2} > x \Longrightarrow ln(x)<x \end{eqnarray*}$ ein guter anfang, denn daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln x}{e^x} < \frac{x}{e^x} < \frac{x}{1+x+\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$

31.01.2008, 20:42

The_Unknown

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Ah, habs grade gemerkt.
Mit l'Hospital käme heraus:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x} }{e^x} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das gegen unendlich laufen lasse käme 0/unendlich heraus. Wie würde ich das dann weiterverarbeiten ? Einfach sagen, es ist 0 ?

31.01.2008, 22:10

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von The_Unknown
Wenn man das Beispiel von oben nimmt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{ln x}{e^x} \end{eqnarray*}$
hat man ja, wenn man ganz formell vorgeht, einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$
Nur wächst wie oben beschrieben der lnx wesentlich langsamer an, als e^x.
Also könnte man eigentlich daraus schließen, dass das untere unendlich schneller erreicht wird als das obere und dadurch der GW 0 ist. Wäre das aber in der Klaursur ok ?

Nein, das ist klausurmäßig kein bisschen ok. Ich würde behaupten, kaum einer dieser Sätze hat irgendetwas mit mathematischer Präzision bzw. mit einer ordentlichen Begründung zu tun. (Soll heißen: In der Klausur würdest du auf so eine "Begründung" wahrscheinlich 0 Punkte bekommen.)

31.01.2008, 22:16

The_Unknown

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Genau deswegen frage ich ja nach, damit ich weiß, ob solche Angaben reichen.

Wäre denn die Lösung mittels der l'Hospital Regel möglich ? Wie oben beschrieben, würde ich dann auf einen GW von 0/unendlich kommen (was ja eigentlich 0 ist).
Würde das denn ausreichen ? Falls nein, würde ich mich über einen Lösungsvorschlag freuen.

PS: Reine Mathematik studiere ich nicht. Nur Mathematik für Informatiker Augenzwinkern

, also zeigt etwas Erbarmen...
PPS: Eine Begründung in genau denselben Worten wie oben würde ich im übrigen niemals in einer Prüfung bringen ..

31.01.2008, 22:54

Mathespezialschüler

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Naja wenn du begründest bzw. wenn ihr das vorher mal bewiesen habt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{0}{\infty} \end{eqnarray*}$ gleich Null ist (natürlich ist dieser Satz mathematisch auch nicht korrekt, aber es sollte klar sein, was gemeint ist), dann geht das auch durchaus mit l'Hospital.

31.01.2008, 23:01

The_Unknown

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OK. Und einfach mit scharfem Hinsehen ? Also praktisch einfach nur folgendes hinschreiben:

Zitat:

lim lnx/e^x = 0, da die Funktionswerte der Funktion ln x für Argumente x gegen unendlich weniger schnell unendlich groß werden als die Funktionswerte von e^x für Argumente x gegen unendlich.

Würde das ausreichen oder doch lieber l'Hospital ?

31.01.2008, 23:02

Mathespezialschüler

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Wo ist denn da der Unterschied zu dem von oben??? (siehe Zitat) unglücklich

Solche lachsen Aussagen sind eigentlich nie mathematisch präzise, es sei denn, es wurde vorher erklärt (definiert), was darunter verstanden werden soll, und es wurde vorher gezeigt, dass das wirklich gilt.

Zitat:

31.01.2008, 23:04

The_Unknown

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Was ist denn falsch oder ungenau ? Damit ichs mir merken kann.

31.01.2008, 23:11

Mathespezialschüler

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Mathematische Begründungen haben durch Symbole (z.B. Gleichungen) oder mathematische Fachsprache formuliert zu werden. In dem Satz

Zitat:

lim lnx/e^x = 0, da die Funktionswerte der Funktion ln x für Argumente x gegen unendlich weniger schnell unendlich groß werden als die Funktionswerte von e^x für Argumente x gegen unendlich.

ist weder klar, was es (mathematisch) bedeuten soll, dass einer Funktion "weniger schnell unendlich groß" wird als eine andere. Das ist eher eine ziemlich umgangssprachliche Formulierung und man kommt in eine ziemliche Bredouille, wenn man das mathematisch ordentlich formulieren können. Außerdem könnte man ja auch sagen, dass " $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ weniger schnell unendlich groß wird als $\begin{eqnarray*} 3x \end{eqnarray*}$ ". Trotzdem geht ja der Bruch nicht gegen Null, sondern gegen Ein Drittel.
Zweitens: Woher weißt du denn, dass $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ tatsächlich "weniger schnell unendlich groß wird" (was auch immer das mathematisch bedeuten) als $\begin{eqnarray*} \operatorname e^x \end{eqnarray*}$ ? Wie ist deine (mathematische) Begründung dafür?

31.01.2008, 23:17

The_Unknown

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Hast ja recht. Mathematisch ist es nicht stichhaltig Augenzwinkern

Aber dass die Funktion weniger schnell anwächst sehe ich begründet im Verlauf des Graphen der beiden Funktionen. lnx ist weniger steil als e^x. Aber mathematisch ist das wahrscheinlich auch nicht präzise genug smile

Also mache ich solche Sachen mit l'Hospital in der Klausur. Danke für die Hilfe !!

31.01.2008, 23:26

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von The_Unknown
Aber dass die Funktion weniger schnell anwächst sehe ich begründet im Verlauf des Graphen der beiden Funktionen. lnx ist weniger steil als e^x. Aber mathematisch ist das wahrscheinlich auch nicht präzise genug smile

Bilder oder Graphen sind nie eine mathematische Begründung.

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