injektiv und surjektiv |
| 18.07.2005, 15:32 | Gast123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| injektiv und surjektiv Bereite mich gearde auf meine mündliche Prüfung vor und weiß mit dieser Frage überhaupt nicht anzufangen: Ist jeder injektive Endomorphismus eines Vektorraumes auch surjektiv? Können Sie mit Hilfe der Rangformel eine Antwort finden. Ich weiß nicht wie ich da ran gehen soll, da ich zur Rangformel nur folgendes weiß: dim V = dim ker + dim f Ich nehme mal an, dass die Antwort ja ist, aber ich finde keinen Anfang... DANKE |
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| 18.07.2005, 15:56 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein injektiver Endomorphismus hat einen trivialen Kern {0}. Du musst begründen, warum dies so ist und dann etwas über das Bild aussagen! |
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| 18.07.2005, 18:14 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: injektiv und surjektiv
Nein. Jedenfalls nicht, wenn die Frage so wie oben gestellt wird. Man betrachte den Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation. Für definiere man die Abbildung durch . ist ein injektiver Endomorphismus, der nicht surjektiv ist. Natürlich wird als Antwort auf die Eingangsfrage "Ja" erwartet. Aber dann fehlt in der Frage ein entscheidendes Wort. Nämlich? |
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| 19.07.2005, 00:48 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich rate jetzt einfach mal mit: Jeder endlich erzeugte VR... |
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| 19.07.2005, 16:30 | Gast123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke schon mal... Aber irgendwie bin ich jetzt total verwirrt. Hab nun nochmal nachgelesen, aber die Aufgabe ist so gestellt, wie ich geschrieben habe. Da ich mich ja schon mit der Aufgabe beschäftigt habe, hatte ich schon mal nachgefragt und mir wurde da meine Vermutung bestätigt, dass die Antwort ja ist. Vielleicht kann mir ja nochmal einer erklären wann ja und wann nein der Fall ist. |
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| 19.07.2005, 16:59 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also in einem ENDLICH! dimensionalen Vektorraum (d.h. er wird endlich erzeugt) gilt die Behauptung, die Antwort ist "ja". (Kannst du das begründen? Denke an den trivialen Kern). In einem unendlich erzeugten Vektorraum (z.B. der Vektorraum der Polynome) gilt die Behauptung nicht. Hier kann man auch den Dimensionssatz nicht anwenden. |
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