Bitte um Korrekturlesen bei 3 unbestimmten Integralen und ihren Stammfunktionen

18.07.2005, 22:57

Schlauchsteher

Bitte um Korrekturlesen bei 3 unbestimmten Integralen und ihren Stammfunktionen

Guten Abend.

Ich hing grade länger an 3 unbestimmten Integralen und würde gerne wissen, ob meine Berechnung der Stammfunktionen richtig ist, oder nicht.

Ich nehme an, dass es ohne partielle Integration gehen muss, da sonst immer angesagt wurde, wann diese zu benutzen ist.

Wäre nett, wenn sich da mal jemand durchhangeln würde, Danke im Vorraus schonmal.

1.)
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos^{2}(x)}}~dx = \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{(\cos^{2}(x))^{\frac{1}{2}}}~dx = \int_{}^{}~\sin(x)*(\cos^{2}(x))^{-\frac{1}{2}}~dx = \int_{}^{}~\tan(x)~dx = - ln( \mid\cos(x)\mid ) \end{eqnarray*}$

2.)
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^{n-1} * \sin(x^{n})~dx = -\cos(x^{n}) * \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

3.)
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}}~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{(\sqrt{x^{2}+1})^{3}}~dx = \frac{2x}{2 * \sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

Speziell die 2 ging irgendwie zu schnell, aber nachdem ich mich damit mehrere Stunden beschäftigt habe sieht das im Moment alles gleich aus ...

18.07.2005, 23:03

Egal

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Die 1 gefällt mir nur so halb. Die 2 ist richtig und die 3 kannst du noch kürzen

18.07.2005, 23:43

Mathespezialschüler

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Allgemein kannst du mit Ableiten immer selbst deine Ergebnisse überprüfen! Die erste ist wirklich nicht ganz korrekt.
Es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\cos^2 x}=|\cos x| \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du eine Fallunterscheidung machen:

1. $\begin{eqnarray*} \cos x>0 \end{eqnarray*}$ .

2. $\begin{eqnarray*} \cos x<0 \end{eqnarray*}$ .

und beide Fälle einzeln behandeln.

Gruß MSS

19.07.2005, 09:56

Schlauchsteher

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Hm, das mit den Ableitungen war mir klar, aber leider war ich dazu nichtmehr fähig gestern abend. Da hat jeder Versuch andere Ergebnisse geliefert traurig

Das kürzen bei der 3. liefert dann wohl : $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

Daran hätt ich auch selbst gestern abend noch denken können.

Das die 2. stimmt überrascht mich eigentlich, weil das die Aufgabe war mit der ich am Schnellsten fertig war.

Bei der 1. eine Fallunterscheidung ?
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos^{2}(x)}}~dx = \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{\mid\cos(x)\mid}~dx \end{eqnarray*}$
1. Fall $\begin{eqnarray*} \cos(x) >= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{\mid\cos(x)\mid}~dx = \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{cos(x)}~dx = \int_{}^{}~\tan(x)~dx = - ln( \mid\cos(x)\mid ) \end{eqnarray*}$
2. Fall $\begin{eqnarray*} \cos(x) < 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{\mid\cos(x)\mid}~dx = \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{-cos(x)}~dx = \end{eqnarray*}$ ???

Der Fall cos(x) = 0 müsste noch unter dem 1. Fall sein, oder ?
Aber was mach ich im 2. Fall ? Da ergibts dann ja nichtmehr den tangens, aber was ergibts denn dann ?

19.07.2005, 10:54

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Geh mal runter vom Schlauch: Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\sin(x)}{-\cos(x)}~dx = -\int~\frac{\sin(x)}{\cos(x)}~dx = \ldots \end{eqnarray*}$

19.07.2005, 11:07

Schlauchsteher

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Wieso kann man denn das Minus einfach vor das Integral ziehen ?

19.07.2005, 11:10

Egal

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Weil es ein Konstanter Faktor ist also insbesondere unabhängig von der Integrationsvariablen. Damit kann man den genauso aussen vor lassen beim Integrieren wie man das beim Differenzieren auch macht.

19.07.2005, 11:31

Schlauchsteher

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Ach so ...
Was da steht ist ja praktisch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-1} * \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \end{eqnarray*}$
Irgendwie war für mich -cos untrennbar verbunden ... Hab schon überall nach einer Stammfunktion für sin / -cos gesucht ...

Danke vielmals für eure Hilfe.

Nur nochmal als Zusammenfassung, falls den Thread nochmal jemand liest (ausserdem macht mir die tex-erei mittlerweile irgendwie Spass Augenzwinkern

):
1.)
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos^{2}(x)}}~dx = \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{\mid\cos(x)\mid}~dx \end{eqnarray*}$
1. Fall $\begin{eqnarray*} \cos(x) >= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{\mid\cos(x)\mid}~dx = \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{cos(x)}~dx = \int_{}^{}~\tan(x)~dx = - ln( \mid\cos(x)\mid ) \end{eqnarray*}$
2. Fall $\begin{eqnarray*} \cos(x) < 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{\mid\cos(x)\mid}~dx = \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{-cos(x)}~dx = -\int_{}^{}~\frac{\sin{x}}{\cos{x}}~dx = -\int_{}^{}~\tan(x)~dx = ln( \mid\cos(x)\mid ) \end{eqnarray*}$

2.)
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^{n-1} * \sin(x^{n})~dx = -\cos(x^{n}) * \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

3.)
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}}~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{(\sqrt{x^{2}+1})^{3}}~dx = \frac{2x}{2 * \sqrt{x^{2}+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

19.07.2005, 11:34

lego

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kann mir mal jemand erklären, wie er das 2te gemacht hat, ich sehs grad nicht? oder gibts da ne altbekannte formel?

19.07.2005, 11:45

Calvin

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Zitat:

Original von Schlauchsteher
1. Fall $\begin{eqnarray*} \cos(x) >= 0 \end{eqnarray*}$

Es ist nur eine Kleinigkeit: für cos(x)=0 ist weder die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos^2(x)}} \end{eqnarray*}$ , noch die zugehörige Stammfunktion definiert. Bei der Fallunterscheidung genügt es also cos(x)>0 und cos(x)<0 zu betrachten.

@lego

Wenn du mir sagst, wie der Ansatz für die dritte ist, sage ich dir, dass du bei der zweiten t=x^n substituieren musst Augenzwinkern

19.07.2005, 12:24

Schlauchsteher

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Bei der 2 hab ich mir einfach gesagt, dass sin entsteht, wenn ich -cos ableite und dann musst du "nur" noch die innere Ableitung entsprechend ausgleichen.

Dafür bin ich im Moment bei der 3. wieder nicht sicher ...

3.)
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}}~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{(\sqrt{x^{2}+1})^{3}}~dx = \frac{2x}{2 * \sqrt{x^{2}+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

Versuch $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$ abzuleiten :
nach Quotientenregel müsste da stehen :
$\begin{eqnarray*} \frac{1*\sqrt{x^{2}+1}-x*\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{\sqrt{x^{2}+1}^{2}} \end{eqnarray*}$

Wer mir das jetzt passend vereinfacht bekommt einen Keks Augenzwinkern

19.07.2005, 13:01

lego

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Die Ableitung von:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

ist nach qutientenregel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1*\sqrt{x^2+1}-x*\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}/(x^2+1) \end{eqnarray*}$

und das ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}*(x^2+1)}=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

19.07.2005, 13:01

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Schlauchsteher
Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$ ist "nur" $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} + 1} \end{eqnarray*}$

Das ist quatsch, die angegebene Lösung von dir stimmt schon! Freude

Gruß MSS

19.07.2005, 13:07

Schlauchsteher

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Zitat:

Das ist quatsch, die angegebene Lösung von dir stimmt schon!

Das das Quatsch war ist mir auch aufgefallen ... Ich bin in der Zeile verrutscht und da standen leider Ableitung und Funktion anders herum ...

@lego, wie komsmt du von dem, was die Quotientenregel hergibt auf die nächste Zeile ? Daran bin ich grade gescheitert.

19.07.2005, 13:11

Egal

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Er hat nur das was über dem grossen Bruchstrich war auf den gleichen Nenner $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ gebracht.

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