Grenzwert per Definition beweisen

31.01.2008, 22:19

aRo

Grenzwert per Definition beweisen

Hallo!

Bevor es noch etwas feiern geht, stelle ich euch schon mal meinen heutigen Versuch hier rein, wie ich per Definition zeigen kann, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2-6x+8}{x^2-5x+4}= - \infty \end{eqnarray*}$

gilt.

Also erst einmal würde ich sagen, dass die Definition so lautet:

Man schreibt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$ , wenn zu jedem M>0 ein $\begin{eqnarray*} \delta(M,x_0) \end{eqnarray*}$ existiert, so dass für alle x aus D mit x ungleich x0 und $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x)<-M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-6x+8}{x^2-5x+4} = \frac{x-2}{x-1} \end{eqnarray*}$

Ich wähle nun ein $\begin{eqnarray*} x \in [1;1+\delta] \end{eqnarray*}$ Und jetzt kommt die Abschätzung, wo ich mir etwas unsicher bin.
Ich sollte doch jetzt nach oben abschätzen und dann zeigen dass mein Ausdruck, den ich dann erhalte, kleiner ist als -M, oder?

31.01.2008, 22:36

tmo

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ja das solltest du jetzt nach oben durch -M abschätzen.

kleiner tipp, der dir beim abschätzen hilft: wähle z.b. $\begin{eqnarray*} \delta=min(\frac{1}{10},\delta_M) \end{eqnarray*}$ .
so bekommst du nämlich den zähler sehr gut in den griff.

02.02.2008, 11:46

aRo

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hey!

Wieso denn "den Zähler in den griff". Ich betrachte ja eher den Nenner als mein Problem. Ich würde ja gerne oben im Zähler für x 1+delta einsetzen und unten im Nenner 1. Dadurch habe ich natürlich das Problem, dass ich eine Null im Nenner stehen hätte.

Wenn ich deine Definition von Delta benutzen würde, würde ich es ja irgendwie so machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{x-1} \leq \frac{-1+\delta_M}{\delta-1} \end{eqnarray*}$

Was mich aber eventuell vors gleiche Problem stellt und ich so auch nicht wüsste, wie ich weiter machen muss.
Also, ich habe da anscheinend noch einige Denkfehler drin, bitte um Aufklärung! smile

02.02.2008, 11:55

tmo

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ich meinte das so, dass wenn du delta auf jeden fall kleiner gleich 1/10 wählst, dann bewegt sich der zähler ja zwischen $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{9}{10} \end{eqnarray*}$

mit anderen worten: $\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{x-1} \leq \frac{-\frac{9}{10}}{x-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1<x\leq \frac{11}{10} \end{eqnarray*}$ (und nur solche betrachtest du ja).

und jetzt kannst du dich voll und ganz um das eigentlich entscheidende, nämlich den nenner, kümmern, da der zähler ja konstant ist.

04.02.2008, 09:54

aRo

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guten morgen tmo!

Ich verstehs immer noch nicht ganz.
erst einmal zu deiner Schreibweise: $\begin{eqnarray*} \delta = min(\frac{1}{10},\delta_M \end{eqnarray*}$

Was genau ist da $\begin{eqnarray*} \delta_M? \end{eqnarray*}$ Wieso heißt das, dass delta kleiner gleich 1/10 ist?

Ok, angenommen, delta wäre kleiner gleich 1/10, dann bewegt sich der Zähler zwischen -1 und -9/10, genau. Jetzt entscheidest du dich für die -9/10. Warum? Ich denke wir müssen nach oben, also <= abschätzen und da wollen wir den Zähler doch möglichst klein machen.

04.02.2008, 10:12

Dual Space

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Zitat:

Original von aRo
erst einmal zu deiner Schreibweise: $\begin{eqnarray*} \delta = min(\frac{1}{10},\delta_M) \end{eqnarray*}$

Wieso heißt das, dass delta kleiner gleich 1/10 ist?

Sei $\begin{eqnarray*} \delta_M\geq\tfrac{1}{10} \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} \delta=\min\{\tfrac{1}{10},\delta_M\}=\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \delta_M<\tfrac{1}{10} \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} \delta=\min\{\tfrac{1}{10},\delta_M\}=\delta_M< \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ .

04.02.2008, 12:15

aRo

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lol, auch wieder wahr...nene unglücklich

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