Kontrolle einer Partialbruchaufgabe erbeten

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19.07.2005, 12:33	Schlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontrolle einer Partialbruchaufgabe erbeten Ich hab mal wieder eine Lösung bei der ich mir nicht sicher bin und die ich euch gerne präsentieren würde. Aufgabe : Ich soll folgendes Integral mit Partialbruchzerlegung lösen : $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{2x^2 + 5x - 1}{x^3 + x^2 - 2x}~dx \end{eqnarray}$ Nullstellen sind x=0, x=1 und x=-2. Damit stelle ich die Brüche $\begin{eqnarray} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2} \end{eqnarray}$ auf. Wenn ich das jetzt auf den Ursprungsnenner bringe und ausmultipliziere komme ich auf : $\begin{eqnarray} \frac{x^2 ( A + B + c ) + x * ( A + 2B - C ) - 2 ( A )}{x^3 + x^2 - 2x} \end{eqnarray}$ Dann sind meine Gleichungen : A+B+C = 2, A+2B-C=5 und -2A=-1 ?? Lösung : A = 1/2, B = 2 und C = -1/2 Daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{2x^2 + 5x - 1}{x^3 + x^2 - 2x}~dx = \int_{}^{}~\frac{A}{x}~dx + \int_{}^{}~\frac{B}{x-1}~dx + \int_{}^{}~\frac{C}{x+2}~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{2x}~dx + \int_{}^{}~\frac{2}{x-1}~dx + \int_{}^{}~\frac{-1}{2 * (x+2)}~dx \end{eqnarray}$ Also dann Stammfunktionen dieser 3 Integrale bestimmen : $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} * \int_{}^{}~\frac{1}{x}~dx + 2 * \int_{}^{}~\frac{1}{x-1}~dx + (-\frac{1}{2}) * \int_{}^{}~\frac{1}{x+2}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2} * ln(\mid x \mid) + 2 * ln(\mid x-1 \mid) + (-\frac{1}{2}) * ln(\mid x+2 \mid) \end{eqnarray*}$ Stimmt das so ? Hab versucht mich an das Beispiel in der Aufgabensammlung zu halten ... Kann man das Endergebnis noch zusammenfassen ? Ich bin dazu nicht in der Lage. Danke im Vorraus für sämtliche Antworten.
19.07.2005, 13:03	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
editiert, tschuldige hatte angabenfehler dein ergebnis stimmmt
19.07.2005, 13:09	Schlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu, ich kann sogar mal was richtig machen
19.07.2005, 13:11	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
dein Endergebnis kannst du noch mit Hilfe der Rechenregeln für Logartihmen zusammenfassen (statt lg halt ln)
19.07.2005, 15:40	Schlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{2} ln(\mid x \mid) + 2 * ln(\mid x-1 \mid) + (-\frac{1}{2}) * ln(\mid x+2 \mid) \end{eqnarray}$ Hm, wie geht das mit den Faktoren vor dem Logarithmus ? Dazu ist leider bei den Rechenregeln nichts gesagt - oder sagen wir, ich habs nicht gesehen Sieht das dann so aus ? $\begin{eqnarray} ( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 ) * ln (\mid x \mid + \mid x-1 \mid + \mid x+2 \mid) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2 * ln (\mid x \mid + \mid x-1 \mid + \mid x+2 \mid) \end{eqnarray*}$
19.07.2005, 18:46	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein tuts nicht. Da hast du irgendein Logarithmusgesetz selbst erfunden.
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19.07.2005, 21:20	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den Faktoren machst du folgendes: $\begin{eqnarray} a\log(b)=\log(b^a) \end{eqnarray}$ Steht andersrum in den Formeln dabei
20.07.2005, 13:26	Schlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich auch logisch, aber wenn du mich fragst, dann nicht wirklich viel schönerals vorher. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} ln(\mid x \mid) + 2 * ln(\mid x-1 \mid) + (-\frac{1}{2}) * ln(\mid x+2 \mid) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ln( \mid x \mid^\frac{1}{2} * \mid x-1 \mid^{2} * \mid x+2 \mid^{-\frac{1}{2}}) \end{eqnarray*}$
20.07.2005, 13:56	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
zuerst klammern wir mal $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ aus => $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \cdot ( ln(\mid x \mid) + 4 \cdot ln(\mid x-1 \mid) - ln(\mid x+2 \mid)) \end{eqnarray}$ und nun wenden wir die Logarithmenregeln an $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\cdot \ln \frac{\mid x \mid\cdot (x-1)^4}{\mid x+2 \mid} \end{eqnarray}$ wie gefällt dir das?
20.07.2005, 14:16	Schlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Autsch. Ausklammern ... Mach ich meinem Namen mal wieder alle Ehre Das sieht jetzt allerdings besser aus.

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