Bestimme Erwartungswert und Varianz

19.07.2005, 17:28

creasy

Bestimme Erwartungswert und Varianz

Hallo zusammen

Bräuchte dringend Hilfe bei folgender Aufgabe: Hammer

Eine Urne enthält n rote und 2 schwarze Kugeln. Nacheinander werden die Kugeln der Urne ohne Zurücklegen entnommen, bis eine schwarze Kugel gezogen wird. Es sei N die Anzahl der Ziehungen. Bestimmen sie den Erwartungswert und die Varianz von N.

Komme nicht auf den richtigen Weg. verwirrt

19.07.2005, 18:18

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Der naheliegende Weg besteht darin, zunächst die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(N=k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots,n+1 \end{eqnarray*}$ auszurechnen - denn frühestens im ersten und spätestens im (n+1)-ten Zug hat man die erste schwarze Kugel gezogen.

Und mit den Einzelwahrscheinlichkeiten kannst du dann Erwartungswert und Varianz von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ bestimmen.

19.07.2005, 18:18

Mathespezialschüler

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Hast du schonmal die Verteilung von N bestimmt? Versuche doch mal, $\begin{eqnarray*} P(N=k) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Natürlich ist diese Wahrscheinlichkeit nur für $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n+1 \end{eqnarray*}$ nichttrivial.
Mit der Verteilung dürfte der Rest kein Problem sein! Augenzwinkern

Gruß MSS

edit: zu langsam unglücklich

19.07.2005, 18:29

creasy

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Ja, habe ich schon versucht.
Der Ausdruck den ich als Verteilung herausbekommen habe, hilft mir nicht so richtig weiter. Weiß auch nicht so recht, wie ich dann den Erwartungswert in Abhängigkeit von n ausdrücken soll. Stehe da im Moment etwas auf dem Schlauch.

Wäre um eine konkrete Lösung äußerst dankbar, da ich morgen eine Klausur schreibe, in der uU ein solcher Aufgabetyp drankommt.

19.07.2005, 18:37

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Was hast du denn erstmal als Verteilung raus? Also, wie groß ist $\begin{eqnarray*} P(N=k) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von k (und natürlich n)?

19.07.2005, 18:45

creasy

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$\begin{eqnarray*} 2(\frac{n+2-k}{(n+1)(n+2)} ) \end{eqnarray*}$

Habe es über ein Beispiel mit kleinen Zahlen "herausbekommen". Sofern es richtig ist.

19.07.2005, 18:52

Mathespezialschüler

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Ist doch richtig! So und damit kannst du jetzt doch Erwartungswert und Varianz bestimmen! Also an die Arbeit!

Gruß MSS

19.07.2005, 18:57

creasy

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Also muss ich jetzt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k2(\frac{n+2-k}{(n+1)(n+2)} ) \end{eqnarray*}$

berechnen, richtig?

19.07.2005, 19:07

Mathespezialschüler

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Ja, richtig. Ich schreibs mal schöner hin Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~2k\cdot \frac{n+2-k}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}\cdot \sum_{k=1}^{n+1}~k(n+2-k) \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

19.07.2005, 19:12

creasy

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Ja, aber wie berechne ich jetzt die Reihe. verwirrt

Eine Möglichkeit wäre vielleicht sie für ein paar konkrete Zahlen auszurechnen und zu schauen, ob eine Regelmäßigkeit zu finden ist. Idee!

Oder gibt es eine besseren schnelleren Weg. Hammer

19.07.2005, 19:16

Mathespezialschüler

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Ich helf mal noch ein bißchen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(n+1)(n+2)}\cdot \sum_{k=1}^{n+1}~k(n+2-k)=\left[\frac{2}{(n+1)(n+2)}\cdot \sum_{k=1}^{n+1}~k(n+2)\right]-\left[\frac{2}{(n+1)(n+2)}\cdot \sum_{k=1}^{n+1}~k^2\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left[\frac{2}{n+1}\cdot \sum_{k=1}^{n+1}~k\right]-\left[\frac{2}{(n+1)(n+2)}\cdot \sum_{k=1}^{n+1}~k^2\right] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt helfen die Summenformeln für

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2 \end{eqnarray*}$ ,

die du kennen solltest.

Gruß MSS

19.07.2005, 19:17

creasy

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Danke danke danke

19.07.2005, 19:20

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Und bei der Varianz kann man sich ähnlich durchkämpfen, wobei man dort ergänzend auch noch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^3 \end{eqnarray*}$ benötigt.

19.07.2005, 19:20

Mathespezialschüler

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Schreib mal dein Ergebnis dann rein! (Auch das für die Varianz)
Dann können wir das überprüfen.

Gruß MSS

19.07.2005, 19:42

creasy

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Erwartungswert:
$\begin{eqnarray*} E(N)= \frac{2n-3}{3} \end{eqnarray*}$
Varianz:
$\begin{eqnarray*} V(N)= \frac{-3n^3+5n^2+10n+12}{3(2n+4)} \end{eqnarray*}$

Hoffe ich habe mich nicht verrechnet! böse

Korrektur:
Varianz:
$\begin{eqnarray*} V(N)= \frac{-3n^3+5n^2+10n+12}{3(2n+4)} - (\frac{2n+3}{3})^2 \end{eqnarray*}$
Das müsste man dann noch vereinfachen.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

19.07.2005, 19:49

Mathespezialschüler

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@Arthur
Hast du das gleiche? Ich hab nämlich schon einen anderen Erwartungswert und rechne jetzt grad an der Varianz. Das is ja eine eklige Rechnerei! Hammer

Auf jeden Fall hab ich $\begin{eqnarray*} \mathbb E~N=\frac{n+3}{3} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

19.07.2005, 19:52

creasy

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hab noch mal nachgerechnet und hab nun auch
$\begin{eqnarray*} \frac{n+3}{3} \end{eqnarray*}$
raus

damit stimmt natürlich auch die Varianz nicht mehr

19.07.2005, 19:54

Mathespezialschüler

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Dann rechne ich erstmal bei der Varianz weiter. Ist aber eine fehlerprovozierende Rechnerei! böse

Gruß MSS

19.07.2005, 19:59

creasy

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Allerdings und sowas war mal Klausuraufgabe. Bei der Klausur waren keinerlei Hilfsmittel zugelassen.

19.07.2005, 20:02

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Auf jeden Fall hab ich $\begin{eqnarray*} E(N)=\frac{n+3}{3} \end{eqnarray*}$ .

Ja, hab ich auch - besser gesagt: MuPAD

code:
1:	m1 := 2/((n+1)(n+2))sum(k*(n+2-k),k=1..n+1)

P.S.: Und zum Vergleich auch noch die Varianz

code:
1:	m2 := simplify(2/((n+1)(n+2))sum(k^2*(n+2-k),k=1..n+1)-m1^2)

$\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~N = \frac{n(n+3)}{18} \end{eqnarray*}$

19.07.2005, 20:04

Mathespezialschüler

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Rechnest du jetzt auch noch an der Varianz? Ich habe jetzt

$\begin{eqnarray*} \mathbb D^2~N=\frac{n}{6}\cdot \left(\frac{n}{3}+1\right) \end{eqnarray*}$

raus. Kannst du das bestätigen, Arthur?

Gruß MSS

edit: @Arthur
Gut! Dafür hab ich alles per Blatt, Stift und Kopf gemacht!! Buschmann

Ein Wunder, dass dort kein Fehler dabei war! (zwei Seiten sind voll)

19.07.2005, 20:06

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Schon geschehen. smile

19.07.2005, 20:09

Mathespezialschüler

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Hab ich auch schon gesehen. Augenzwinkern

Gruß MSS

19.07.2005, 20:10

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Gut! Dafür hab ich alles per Blatt, Stift und Kopf gemacht!!

Tja, für mich reicht es zu wissen, wie es mit Papier und Bleistift geht. Aber da war ich jetzt echt zu faul dazu, und ich muss ja auch keine Klausuren mehr schreiben. Big Laugh

19.07.2005, 20:12

Mathespezialschüler

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Für mich reicht es auch, aber ich hab nicht die Mittel. Hammer

Gruß MSS

23.07.2005, 22:44

Leopold

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Und hier ein Alternativvorschlag zur Berechnung von Erwartungswert und Varianz, der die Potenzsummen meidet, dafür aber durch die Analysis der Reihen geht.

Differenziert man in $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ die geometrische Reihe und multipliziert man mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , so findet man

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ \sum_{n \geq 0}^{}~nx^n \ = \ \frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt quadriert man $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ und erhält bei Bildung des Cauchy-Produktes

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ \sum_{n \geq 0}^{}~\left( \sum_{k=0}^n~k(n-k) \right) \, x^n \ = \ \frac{x^2}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$

Differenziert man dagegen die geometrische Reihe dreimal und multipliziert man mit $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , so findet man andererseits

$\begin{eqnarray*} \text{(3)} \ \ \frac{1}{6} \sum_{n \geq 0}^{}~(n+1)(n+2)(n+3) \, x^{n+2} \ = \ \frac{x^2}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$

Ein Koeffizientenvergleich der Reihen in $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(3)} \end{eqnarray*}$ beim Exponenten $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ zeigt

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \, \mathcal{E}N \ = \ \sum_{k=0}^{n+2}~k (n+2-k) \ = \ \frac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3) \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \text{(4)} \ \ \mathcal{E}N \ = \ \frac{1}{3}(n+3) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ differenziert und mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multipliziert, so daß sich

$\begin{eqnarray*} \text{(5)} \ \ \sum_{n \geq 0}^{}~n^2 x^n \ = \ \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \end{eqnarray*}$

ergibt. Multiplikation von $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(5)} \end{eqnarray*}$ zeigt

$\begin{eqnarray*} \text{(6)} \ \ \sum_{n \geq 0}^{}~\left( \sum_{k=0}^n~k^2 (n-k) \right) x^n \ = \ \frac{x^2 (1+x)}{(1-x)^5} \end{eqnarray*}$

Andererseits kann man die geometrische Reihe viermal differenzieren. Wenn man dann noch mit $\begin{eqnarray*} x^2 (1+x) \end{eqnarray*}$ multipliziert, erhält man

$\begin{eqnarray*} \text{(7)} \ \ \frac{1}{12} \sum_{n \geq 0}^{}~(n+1)(n+2)^2 (n+3) \, x^{n+2} \ = \ \frac{x^2 (1+x)}{(1-x)^5} \end{eqnarray*}$

Und wiederum zeigt ein Koeffizientevergleich beim Exponenten $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} \text{(6)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(7)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \, \mathcal{E}N^2 \ = \ \sum_{k=0}^{n+2}k^2 (n+2-k) \ = \ \frac{(n+1)(n+2)^2 (n+3)}{12} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \text{(8)} \ \ \mathcal{E}N^2 \ = \frac{(n+2)(n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \text{(4)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(8)} \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \text{(9)} \ \ \operatorname{Var}N \ = \frac{(n+2)(n+3)}{6} - \left( \frac{1}{3}(n+3) \right)^2 \ = \ \frac{1}{18}n(n+3) \end{eqnarray*}$

Ein bißchen ein schweres Geschütz bei so einem simplen Ergebnis. Vielleicht kann man ja $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ als Kombination anderer Zufallsgrößen schreiben, deren Erwartungswert und Varianz sich leicht berechnen lassen.

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