Bestimme Erwartungswert und Varianz

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creasy Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme Erwartungswert und Varianz
Hallo zusammen

Bräuchte dringend Hilfe bei folgender Aufgabe: Hammer
Eine Urne enthält n rote und 2 schwarze Kugeln. Nacheinander werden die Kugeln der Urne ohne Zurücklegen entnommen, bis eine schwarze Kugel gezogen wird. Es sei N die Anzahl der Ziehungen. Bestimmen sie den Erwartungswert und die Varianz von N.

Komme nicht auf den richtigen Weg. verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der naheliegende Weg besteht darin, zunächst die Einzelwahrscheinlichkeiten für auszurechnen - denn frühestens im ersten und spätestens im (n+1)-ten Zug hat man die erste schwarze Kugel gezogen.

Und mit den Einzelwahrscheinlichkeiten kannst du dann Erwartungswert und Varianz von bestimmen.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du schonmal die Verteilung von N bestimmt? Versuche doch mal, zu bestimmen. Natürlich ist diese Wahrscheinlichkeit nur für nichttrivial.
Mit der Verteilung dürfte der Rest kein Problem sein! Augenzwinkern

Gruß MSS

edit: zu langsam unglücklich
creasy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe ich schon versucht.
Der Ausdruck den ich als Verteilung herausbekommen habe, hilft mir nicht so richtig weiter. Weiß auch nicht so recht, wie ich dann den Erwartungswert in Abhängigkeit von n ausdrücken soll. Stehe da im Moment etwas auf dem Schlauch.

Wäre um eine konkrete Lösung äußerst dankbar, da ich morgen eine Klausur schreibe, in der uU ein solcher Aufgabetyp drankommt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn erstmal als Verteilung raus? Also, wie groß ist in Abhängigkeit von k (und natürlich n)?
creasy Auf diesen Beitrag antworten »



Habe es über ein Beispiel mit kleinen Zahlen "herausbekommen". Sofern es richtig ist.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ist doch richtig! So und damit kannst du jetzt doch Erwartungswert und Varianz bestimmen! Also an die Arbeit!

Gruß MSS
creasy Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich jetzt



berechnen, richtig?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Ich schreibs mal schöner hin Augenzwinkern



Gruß MSS
creasy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber wie berechne ich jetzt die Reihe. verwirrt
Eine Möglichkeit wäre vielleicht sie für ein paar konkrete Zahlen auszurechnen und zu schauen, ob eine Regelmäßigkeit zu finden ist.Idee!
Oder gibt es eine besseren schnelleren Weg. Hammer
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich helf mal noch ein bißchen:



.

Jetzt helfen die Summenformeln für

und ,

die du kennen solltest.

Gruß MSS
creasy Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Gott Gott
Danke danke danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und bei der Varianz kann man sich ähnlich durchkämpfen, wobei man dort ergänzend auch noch benötigt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib mal dein Ergebnis dann rein! (Auch das für die Varianz)
Dann können wir das überprüfen.

Gruß MSS
creasy Auf diesen Beitrag antworten »

Erwartungswert:

Varianz:



Hoffe ich habe mich nicht verrechnet! böse


Korrektur:
Varianz:

Das müsste man dann noch vereinfachen.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur
Hast du das gleiche? Ich hab nämlich schon einen anderen Erwartungswert und rechne jetzt grad an der Varianz. Das is ja eine eklige Rechnerei! Hammer
Auf jeden Fall hab ich .

Gruß MSS
creasy Auf diesen Beitrag antworten »

hab noch mal nachgerechnet und hab nun auch

raus

damit stimmt natürlich auch die Varianz nicht mehr
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann rechne ich erstmal bei der Varianz weiter. Ist aber eine fehlerprovozierende Rechnerei! böse

Gruß MSS
creasy Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings und sowas war mal Klausuraufgabe. Bei der Klausur waren keinerlei Hilfsmittel zugelassen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Auf jeden Fall hab ich .

Ja, hab ich auch - besser gesagt: MuPAD

code:
1:
m1 := 2/((n+1)*(n+2))*sum(k*(n+2-k),k=1..n+1)

Teufel


P.S.: Und zum Vergleich auch noch die Varianz

code:
1:
m2 := simplify(2/((n+1)*(n+2))*sum(k^2*(n+2-k),k=1..n+1)-m1^2)

Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnest du jetzt auch noch an der Varianz? Ich habe jetzt



raus. Kannst du das bestätigen, Arthur?

Gruß MSS

edit: @Arthur
Gut! Dafür hab ich alles per Blatt, Stift und Kopf gemacht!! Buschmann Ein Wunder, dass dort kein Fehler dabei war! (zwei Seiten sind voll)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Schon geschehen. smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich auch schon gesehen. Augenzwinkern

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Gut! Dafür hab ich alles per Blatt, Stift und Kopf gemacht!!

Tja, für mich reicht es zu wissen, wie es mit Papier und Bleistift geht. Aber da war ich jetzt echt zu faul dazu, und ich muss ja auch keine Klausuren mehr schreiben. Big Laugh
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich reicht es auch, aber ich hab nicht die Mittel. Hammer

Gruß MSS
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und hier ein Alternativvorschlag zur Berechnung von Erwartungswert und Varianz, der die Potenzsummen meidet, dafür aber durch die Analysis der Reihen geht.


Differenziert man in die geometrische Reihe und multipliziert man mit , so findet man



Jetzt quadriert man und erhält bei Bildung des Cauchy-Produktes



Differenziert man dagegen die geometrische Reihe dreimal und multipliziert man mit , so findet man andererseits



Ein Koeffizientenvergleich der Reihen in und beim Exponenten zeigt



und somit



Jetzt wird differenziert und mit multipliziert, so daß sich



ergibt. Multiplikation von und zeigt



Andererseits kann man die geometrische Reihe viermal differenzieren. Wenn man dann noch mit multipliziert, erhält man



Und wiederum zeigt ein Koeffizientevergleich beim Exponenten zwischen und



also



Mit und folgt



Ein bißchen ein schweres Geschütz bei so einem simplen Ergebnis. Vielleicht kann man ja als Kombination anderer Zufallsgrößen schreiben, deren Erwartungswert und Varianz sich leicht berechnen lassen.
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