Funktionsgrenzwerte

19.07.2005, 17:37	chris_hs	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsgrenzwerte Hab arge Probleme mit folgenden Funktionen. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\pi}{2} -arctanx}{ln(\frac{x-1}{x+1})} \end{eqnarray}$ Ist unbestimmter Ausdruck 0/0. Ich bekomm dann nach mehreren L´Hospital immer wieder 0/0 $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}(1-e^{2x})cotx \end{eqnarray}$ Ist unbestimmter Ausdruck 0*unendlich. Ich form sie um in einen Bruch und bekomme unendlich/unendlich. Nach 2mal L´Hospital bekomm ich unendlich/0
19.07.2005, 17:54	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsgrenzwerte schreib doch mal deine zwischenschritte hier rein!!
19.07.2005, 18:39	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Die zweite könntest du mit Potenzreihen machen, falls du die entsprechenden Reihen kennst. Es geht aber auch mit l'Hospital, du musst es nur n bißchen umschreiben: $\begin{eqnarray} (1-\operatorname{e}^{2x})\cdot \cot x=\frac{1-\operatorname{e}^{2x}}{\tan x} \end{eqnarray}$ Jetzt hast du 0/0 und kannst l'Hospital anwenden. Die erste dürfte nach einmaliger Anwendung von l'Hospital ebenfalls einfach gelöst werden können. Gruß MSS
22.07.2005, 17:27	chris_hs	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgaben hab ich hinbekommen. Bei der hier komm ich nach 1x l´hospital auf $\begin{eqnarray} [\frac{1}{\infty}]=0 \end{eqnarray}$ Aber wenn ich für links/rechtsseitigen GW einen Wert etwas über/unter Pi einsetze, komm ich auf Pi als gemeinsamen GW. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \pi} \frac{x-\pi}{ln(\frac{x}{\pi})} [\frac{0}{0}] \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \pi} \frac{1}{\frac{1}{(\frac{x}{\pi})}\cdot \frac{\pi}{0}} [\frac{1}{\infty}]=0 \end{eqnarray}$
22.07.2005, 23:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert ist nicht schwierig: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to \pi}\frac{x-\pi}{\ln\frac{x}{\pi}}=\lim_{x\to \pi}\frac{x-\pi}{\ln x -\ln \pi}=\lim_{x\to \pi}\frac{1}{\frac{\ln x -\ln \pi}{x-\pi}} \end{eqnarray}$ . Im Nenner steht jetzt etwas von der Form $\begin{eqnarray} \frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f(x)=\ln x \end{eqnarray}$ ist. Wogegen geht das allgemein für jede (in $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ differenzierbare) Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ? Das wäre die Methode, den Differentialquotienten direkt zu benutzen, aber auch mit l'Hospital müsstest du auf $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ kommen. Deine Ableitung ist nämlich völlig falsch. Eine 0 im Nenner, das ist ja schonmal ganz unmöglich. Und wenn du schon die Kettenregel bemühst, dann wenigstens richtig: $\begin{eqnarray} \left(\ln\frac{x}{\pi}\right)'=\frac{1}{\frac{x}{\pi}}\cdot \left(\frac{x}{\pi}\right)'=\frac{1}{\frac{x}{\pi}}\cdot \frac{1}{\pi}=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
23.07.2005, 14:09	chris_hs	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, dank dir! Mit der Quotientenregel komm ich immer etwas durcheinander. Reine Übungssache Klar, die Logarithmusregeln sollte man immer im Kopf haben. Aber ich hätte jetzt einfach gesagt $\begin{eqnarray} (lnx-ln\pi )'=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Auf jeden Fall vielen Dank!
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