Mathewettbewerb Aufgabe

01.02.2008, 19:41

Rudi

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Mathewettbewerb Aufgabe

Hallo ,

vom Zentrum für Mathematik wird ja auch dieses Jahr ein Wettbewerb gestartet. Es wurde schon ein Probeaufgabenzettel für 2008 veröffentlicht und die Lösungen dazu gibt es auch(bzw. habe ich schon vom Lehrer bekommen).

Habe mir mal die Aufgaben angeschaut und schon gleich bei der Ersten habe ich Probleme zu verstehen wie die auf die Lösugen kommen(Lösungsweg ist eig. nicht wirklich angegeben).

Das ist die Aufgabe:

http://s3.directupload.net/images/080201/p9s6fk7q.jpg

Das sind die Lösungen:

http://s6.directupload.net/images/080201/xssy4zlc.jpg

Meine Fragen nun:

Die Teilaufgabe a) kann man ja auch lösen wenn man die beiden Geradengleichung nach den Variablen auflöst etc. dann bekommt man auch für x=6 und y=6 raus.
Aber die Erklärung der Musterlösung verstehe ich nicht ganz.

Desweitern frage ich mich wie man die Aufgabe b) löst. Es steht ja einfach nur ein Ergebnis uns ein kleiner Zwischenschritt in der Lösung. Also wäre nett falls mich da mal jemand aufklären kann.

Werde dann mal versuchen selbständig zu schaun wie man bei c) auf die Lösung kommt. Vielleicht hillft mir ja dann das neu erworbene Wissen aus a) und b).

Grüße

01.02.2008, 19:47

Rare676

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Probier doch mal ein die Fläche zu zerlegen. Vllt ein Trapez und ein Dreieck Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schnittpunkte mit den achsen kannst du ja jeweils zur hilfe berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2008, 19:51

WebFritzi

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RE: Mathewettbewerb Aufgabe

Zitat:

Original von Rudi
Die Teilaufgabe a) kann man ja auch lösen wenn man die beiden Geradengleichung nach den Variablen auflöst etc. dann bekommt man auch für x=6 und y=6 raus.
Aber die Erklärung der Musterlösung verstehe ich nicht ganz.

Es ist dir hoffentlich (von der Zeichnung her) klar, dass der Schnittpunkt die Form (x,y) = (x,x) haben muss, oder (also y- und x-Korrdinate sind gleich). Wenn man das in die Gleichung von g einsetzt, bekommt man

30 = 3x + 2y = 3x + 2x = 5x.

Auf beiden Seiten durch 5 teilen ergibt 6 = x. Also ist (x,y) = (6,6) der Schnittpunkt.

Aber eigentlich muesste man noch zeigen, dass g und h symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden sind. Was damit gemeint ist, sieht man darueberhinaus erst an der Zeichnung. Also: die "Musterloesung" ist Mist. Dein Ansatz, g und h gleichzusetzen, ist einfach mathematisch korrekter.

01.02.2008, 20:14

Rudi

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@ WebFritzi ok danke

Das bedeutet man bekommt die Lösung für den Punkt P auch nur duch eine Geradengleichung, wie du hier im bsp. gezeigt hast in dem du halt beides auf die Variabel x stellst. (Also nicht nach x umstellen sondern einfach y durch x ersetzt)

01.02.2008, 20:19

Rudi

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also zur Aufgabe b) ich muss es also in ein Trapez und ein Dreieck zerlegen und nicht in 2 Dreiecke ? verwirrt

verwirrt

//edit : ich werd mich Morgen wieder melden !

01.02.2008, 20:30

WebFritzi

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Natuerlich gehen auch zwei Dreiecke. Diese sind in der "Musterloesung" auch wunderbar angedeutet. Die Dreiecke sind kongruent. Also brauchst du nur die Flaeche eines Dreiecks zu berechnen und das Ergebnis zu verdoppeln. Du hast von dem Dreieck eine Seite und die Hoehe darauf gegeben. Du musst also nur 2 Zahlen in eine Gleichung einsetzen.

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01.02.2008, 20:31

riwe

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was verstehst du denn da nicht verwirrt

verwirrt

ich würde sowieso bei c) anfangen

da g und h symmetrisch ... sind, liegt P auf der garaden y = x,
na daher setzt du für y = x in g ein und hast

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\to \frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1\to x=y=\frac{ab}{a+b} \end{eqnarray*}$

nun besteht die figur aus 2 identischen dreiecken (an y = x gespiegelt).

daher hast du $\begin{eqnarray*} A =2\cdot\frac{1}{2}g\cdot h \end{eqnarray*}$

die grundlinie ist definitionsgemäß der wert $\begin{eqnarray*} g = a \end{eqnarray*}$ in der achsenabschnittsform der geraden g,
und die höhe h des dreiecks ist die y-koordinate von P, daher

$\begin{eqnarray*} A=\frac{a²b}{a+b} \end{eqnarray*}$

und bei den teilen a) und b) kannst du jetzt einfach einsetzen.

01.02.2008, 21:18

Rudi

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also die Aufgabe b) hab ich jetzt einfach danach gelöst , dass es zwei kongruente Dreiecke sind. Die Höhe und die Grundlinie sind ja nicht schwer auszurechnen und dann alles mal 2.

So .. trotzdem steh ich extremst aufm Schlauch .. kann mir einer nochmal sagen wieso die Geraden symmetrisch sind und wie riwe das x=y einsetzt und auf seine Endgleichung kommt ? bin gerade bisschen verwirrt ... Teufel

Teufel

01.02.2008, 21:32

riwe

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$\begin{eqnarray*} g: \quad{ }\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \end{eqnarray*}$

und jetzt ersetze x durch y und y durch x und schau was raus kommt

und den schnittpunkt bekommst du, wie schon ein paarmal oben steht, indem du für y = x setzt, wegen..... unglücklich

unglücklich

01.02.2008, 21:45

Rudi

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Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} g: \quad{ }\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \end{eqnarray*}$

und jetzt ersetze x durch y und y durch x und schau was raus kommt

Also , ich weiß nicht obs gerade an mir liegt das ich so schlecht verstehe was du von mir möchtest. Aber nach deiner Anleitung soll ich folgendermaßen vorgehen

$\begin{eqnarray*} g: \quad{ }\frac{y}{a}+\frac{x}{b}=1 \end{eqnarray*}$

01.02.2008, 22:59

riwe

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ja und das ist genau die gleichung von

h Freude

Freude

und daher symmetrisch bezüglich $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y = x \end{eqnarray*}$

01.02.2008, 23:06

Rudi

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ok super , und wie komm ich dann letztendlich auf:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{a²b}{a+b} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Also mir ist schon klar , dass das das einzigste mögliche ergebnis ist. Aber wie kommt man da Zwischenschritt mäßig hin?

01.02.2008, 23:18

riwe

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das steht doch in dem beitrag von 20:31
was verstehst du denn da nicht verwirrt

verwirrt

01.02.2008, 23:25

Rudi

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$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\to \frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1\to x=y=\frac{ab}{a+b} \end{eqnarray*}$

den allerletzen Schritt x=y=... das verstehe ich net mehr. Sehe wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht. Gott

Gott

01.02.2008, 23:39

riwe

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Zitat:

Original von Rudi
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\to \frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1\to x=y=\frac{ab}{a+b} \end{eqnarray*}$

den allerletzen Schritt x=y=... das verstehe ich net mehr. Sehe wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht. Gott

Gott

oh lord

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1 \end{eqnarray*}$

auf gemeinsamen nenner bringen ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{bx+ax}{ab}=1\to \frac{x(a+b)}{ab}=1 \end{eqnarray*}$

jetzt solltest du x alleine berechnen können,
und wie wir nun wissen gilt x = y und/oder y = x

ok verwirrt

verwirrt

01.02.2008, 23:51

Rudi

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jo klar , nach x aufzulösen ist ja kein ding.

$\begin{eqnarray*} \frac{bx+ax}{ab}=1\to \frac{x(a+b)}{ab}=1 \to x(a+b)=ab \to x= \frac{ab}{a+b}=y \end{eqnarray*}$

danke dir , dass du soviel Geduld hattest ! Freude

Freude

01.02.2008, 23:53

riwe

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ich wünsche dir noch viel erfolg Freude

Freude

bleib so beharrlich und engagiert - schreibt man das so verwirrt

verwirrt

01.02.2008, 23:55

Rudi

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engagiert jap richtig ! Freude

Freude

danke !!

Werde morgen mit den anderen Aufgaben natürlich weiter machen ..

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