Ableitungsregeln

01.02.2008, 20:43

Differenzierung

Ableitungsregeln

Hallo zusammen,

beschäftige mich gerade wieder mit dem Differenzieren. Hab mir gerade alle Regeln die ich bisher aufgeschrieben habe angeschaut(Summenregel, Produktregel, Quotientenregel etc.)

was ist, wenn ich eine Funktion mit mehreren Produkten habe und diese Ableiten soll. Wie gehe ich da vor?? Bei Produktregel habe ich bisher immer nur immer 2 produkte abgeleitet.

Wie siehts jedoch bei folgender Funktion, die 3 Produkte enthält aus:
$\begin{eqnarray*} (\alpha - 1) * ln * x \end{eqnarray*}$

Kann ich da auch ie Produktregel anwenden?? Wenn ja, wie??

Vielen DAnk!!

01.02.2008, 20:44

system-agent

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Es ist
$\begin{eqnarray*} (f\cdot g\cdot h)'=f'\cdot g\cdot h+f\cdot g'\cdot h+f\cdot g\cdot h' \end{eqnarray*}$

Schau mal bei Google unter der "Leibnizregel"

01.02.2008, 20:48

Differenzierung

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Dies gilt wahrs. für beliebig viele Produkte, oder??

Vielen Dank!!!

01.02.2008, 20:51

system-agent

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Natürlich erstmal nur für endlich lange Produkte...

Der Ableitungsstrich "springt" immer einen Faktor weiter.

01.02.2008, 21:00

Differenzierung

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RE: Ableitungsregeln
Man kann ja anstatt ln * x auch ln(x) schreiben, oder?

dann wäre das Ergebnis der Ableitung:
$\begin{eqnarray*} 1 * ln + (a-1) * \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

01.02.2008, 21:04

system-agent

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Nein,
$\begin{eqnarray*} \ln *x \end{eqnarray*}$
ist einfach ein sinnloser Ausdruck.
Ausserdem kann man sowieso nur Funktionen ableiten und keine Terme.

Entweder meinst du
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x)\cdot x \end{eqnarray*}$
dann ist
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(\ln (x))'\cdot x+\ln(x)\cdot [x]'=\frac{1}{x}\cdot x+\ln(x)=1+\ln x \end{eqnarray*}$

oder du meinst
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x) \end{eqnarray*}$
dann ist
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

01.02.2008, 21:10

Differenzierung

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RE: Ableitungsregeln
Habe eingentlich folgende Funktion, die ich nach alpha ableiten muss:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~(\alpha -1) * ln * x_{i} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand noch mal Hilfe geben, bzw. die Lösung erklären??

01.02.2008, 21:14

system-agent

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Wie ich schon sagte, der Ausdruck " $\begin{eqnarray*} ln*x_i \end{eqnarray*}$ " ist vollkommen blödsinnig. Schreibe das ab, was in der Aufgabe steht.

Da du eine Summe hast, darfst du jeden Summanden einzeln ableiten aufgrund der Summenregel.
Nun betrachte einen einzelnen allgemeinen Summand und leite diesen nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ab.

01.02.2008, 21:27

WebFritzi

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Und bitte mach innerhalb der LaTeX-Umgebung keine Zeilenumbrüche.

01.02.2008, 21:29

Differenzierung

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RE: Ableitungsregeln
Die Aufgabenstellung war folgende:

Ein Merkmal X besitze eine stetige Verteilung mit der Dichte
$\begin{eqnarray*} f(t):= \{\alpha* t^{\alpha-1}\ \end{eqnarray*}$
0 sonst

mit dem unbekannten Parameter alpha € [1, unendlich). alpha soll aufgrund der unabhängigen Stichprobe $\begin{eqnarray*} (x1, x2,..., xn)\in (0,1)^n \end{eqnarray*}$ geschätzt werden

a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für alpha.

01.02.2008, 21:42

system-agent

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Stell jetzt einfach mal deine Funktion rein die du ableiten willst, dann sehen wir das.

01.02.2008, 21:50

Differenzierung

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RE: Ableitungsregeln
Ok, gut:

Die Funktion laut Angabenstellung lautet:

l(a, x1,x2,...xn) = $\begin{eqnarray*} n * log *\alpha + \sum_{i=1}^n~(\alpha-1)* ln * x_i \end{eqnarray*}$

Es geht hier darum den maximum-Likelihoodschätzer für alpha zu finden.

--> Deshalb muss ich oben aufgeführte Funktion ableiten!

01.02.2008, 21:54

system-agent

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Ich habs dir schonmal gesagt:
$\begin{eqnarray*} ln*x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} log*\alpha \end{eqnarray*}$
sind blödsinnige Ausdrücke, das gibt es nicht.

Ich denke, du meinst
$\begin{eqnarray*} \ln(x_i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log(\alpha) \end{eqnarray*}$
aber wie gesagt: die von dir geschriebenen Ausdrücke sind Blödsinn !

Nun ist also $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ deine Variable, das heisst $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ sind nur Konstanten und was passiert mit denen beim Ableiten?
Demnach ist ja auch $\begin{eqnarray*} \ln(x_i) \end{eqnarray*}$ einfach nur eine Konstante, ist dir das klar?

Nun leite mal den ersten Summanden nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ab.

01.02.2008, 22:02

Differenzierung

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ich würde sagen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\alpha} \end{eqnarray*}$

01.02.2008, 22:04

system-agent

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Ganz genau Freude

Nun nimm einen typischen Summand aus der grossen Summe
$\begin{eqnarray*} (\alpha-1)\cdot\ln(x_i) \end{eqnarray*}$
und leite diesen ab.

Wieso reicht das dann für die ganze Summe aus?

01.02.2008, 22:12

Differenzierung

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Sorry, aber versteh´s leider nicht ganz verwirrt

Warum ist denn folgende Ableitung falsch:

$\begin{eqnarray*} 1 * ln + (a-1) * \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Kann es sein das ich $\begin{eqnarray*} (\alpha -1) \end{eqnarray*}$ falsch ableite??

EDIT von Calvin
Zeilenumbruch aus LaTeX entfernt

01.02.2008, 22:15

system-agent

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Zitat:

Original von Differenzierung

$\begin{eqnarray*} 1 * ln + (a-1) * \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Ich sags dir nochmals, das was du hier hinschreibst ist ein vollkommen sinnloser Term !!!

Machen wirs so, dass so ein Summand bischen anders aussieht:
$\begin{eqnarray*} g(x):=(x-1)\cdot c \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ einer Konstante.

Was ist denn dann $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ ?

01.02.2008, 22:25

Differenzierung

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$\begin{eqnarray*} g(x):=(x-1)\cdot c \end{eqnarray*}$

Ableitung:

$\begin{eqnarray*} 1*c + (x-1) * 1 \end{eqnarray*}$
= c + x-1
Das mit den Zeilenumbrüchen ist nicht gewollt, sorry!Benutze den Mozilla Firefox, vielleicht liegts daran. Mit dem IE6 hatte ich nie Probleme...!

01.02.2008, 22:28

system-agent

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Nein, das ist falsch.
$\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante !!

Wenn du die Produktregel nicht richtig anwendest, dann multipliziere aus und leite danach ab!

01.02.2008, 22:31

Differenzierung

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Ok, sorry!

das Ergebnis ist c

$\begin{eqnarray*} 1*c + (x-1) * 0 \end{eqnarray*}$

01.02.2008, 22:36

system-agent

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Ja, das ist richtig Freude

Also, du hattest eine Funktion
$\begin{eqnarray*} f(\alpha)=n\cdot\ln(\alpha)+\sum\limits_{i=1}^n(\alpha-1)\cdot\ln(x_i) \end{eqnarray*}$

Was ist also nun die Ableitung?
$\begin{eqnarray*} f'(\alpha)=? \end{eqnarray*}$

01.02.2008, 22:54

Differenzierung

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$\begin{eqnarray*} f'(\alpha)=\frac{n}{\alpha} + \sum_{i=1}^n~ln*x_i \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für Deine Mühe und zeitaufwand... Freude

01.02.2008, 22:59

system-agent

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Deine Ableitung stimmt soweit, aber ich muss es nochmals sagen:

Schreib niemals
$\begin{eqnarray*} ln*x_i \end{eqnarray*}$
oder einfach nur ein " $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ " mitten in einem Term,
denn das ist einfach nur blödsinnig und falsch!!

$\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Logarithmusfunktion genau so wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ deine abzuleitende Funktion bezeichnet. Wenn du schreibst:
$\begin{eqnarray*} 1+f \end{eqnarray*}$
ist das nicht nur blödsinnig sondern grob falsch !

Eine Funktion braucht immer ein Argument, das heisst du musst immer hinschreiben auf was die Funktion angewendet wird. Deshalb ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ oder was weiss ich lediglich der Name der Funktion! Einen Sinn in einem Term gibt das erst wenn man das Argument dazu schreibt, zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ oder ...

Also:
$\begin{eqnarray*} 1+\ln \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1+\ln*x \end{eqnarray*}$ = vollkommen sinnlos!
$\begin{eqnarray*} 1+\ln(x) \end{eqnarray*}$ = korrekt!

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