Stochastik (Normalverteilung, Exponentialverteilung, usw.) für die Klausur

02.02.2008, 01:45

vms01

Stochastik (Normalverteilung, Exponentialverteilung, usw.) für die Klausur

Hi,

ich habe eine ganz alte Klausur gefunden die ich versucht habe zu lösen. Nun habe ich leider keine Musterlösungen für die Aufgaben. Ich hoffe ihr könnt mir helfen und mir sagen, ob meine Lösungen stimmen, schreibe nämlich am Montag Klausur, und müsste wissen, ob des so passt. Übrigens bei Aufgabe 3 bin ich mir nicht sicher wie ich die
8.10 Uhr usw. ausdrücken soll, deswegen habe ich da keine Lösung. Auch bei Aufgabe 5 habe ich nur eine Vermutung.

Aufgabe 3 und 5 wären am wichtigsten!!!

Danke

VORWORT zu Aufgabe 1. und 2.:
Bei hochverfügbaren Systemen wird häufig ein und dasselbe Ergebnis von mehreren identischen,
aber unabhängig voneinander arbeitenden Rechnern gleichzeitig errechnet. Wenn
nun die Rechner zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen, dann wird von einem sog.
Voter, der als 100%-ig zuverlässig und richtig arbeitend angesehen wird, eine Mehrheitsentscheidung
durchgeführt, welches Ergebnis als richtig anzusehen ist. Die Zahl n der beteiligten
Rechner wird dabei als ungerade gewählt.

1.) Fünf unabhängige Rechner und ein Voter stehen zur Berechnung zur Verfügung. Die Einzelwahrscheinlichkeiten, dass die Rechner richtig gerechnet haben liegt bei jeweils p = 0.95.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mehrheitsentscheidung zum richtigen
Ergebnis führt, wenn der Voter immer richtig entscheidet?

b) q = 0,99 ist die Wahrscheinlichkeit dass der Voter richtig entscheidet. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mehrheitsentscheidung zum richtigen Ergebnis führt?

Lösung:

a)
$\begin{eqnarray*} P(Mehrheitsentscheid richtig) = P(5 richtig) + P(4 richtig) + P(3 richtig) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} * 0,95^{5} + \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} *0,95^{4} * 0,05^{1} + \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} * 0,95^{3} * 0,05^{2} = 0,998841874 \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} 0,998841874 * 0,99 = 0, 988853455 \end{eqnarray*}$

2. Einer oder mehrere der fünf Rechner aus Aufgabe 1 können ausfallen. Der Voter kann nicht ausfallen. Wenn ein Rechner ausfällt, wird ein weiterer außer Betrieb genommen, damit eine Mehrheitsentscheidung möglich ist. Fallen zwei Rechner aus, so wird die Mehrheitsentscheidung aus den übrigen drei Rechnern kommen. Fallen drei Rechner aus, so ist das Ergebnis des ersten Rechners richtig. Fallen vier Rechner aus, so ist das Ergebnis des übrig gebliebenen Rechners richtig. Die Verfügbarkeit der einzelnen Rechner beträgt V =
0,95
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur ein Rechner zur Bestimmung des Ergebnisses herangezogen wird?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei Rechner zur Bestimmung des Ergebnisses
herangezogen werden?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle fünf Rechner zur Bestimmung des Ergebnisses herangezogen werden?

d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein funktionstüchtiger Rechner übrig bleibt?

e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mehrheitsentscheidung zu einem richtigen Ergebnis führt, wobei der Voter immer richtig entscheidet und nie ausfällt, die anderen Rechner aber ausfallen können und wenn sie funktionsfähig sind auch nur wie in Aufgabe
3 mit p = 0,95 das richtige Ergebnis liefern?

Lösung:
a)
$\begin{eqnarray*} P(1.wird.herangezogen) = P(3.Rechner.ausgefallen) + P(4.Rechner.ausgefallen) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} * 0,95^{2} * 0,05^{3} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} * 0,95^{1} * 0,05^{4} = 0,0011578 \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} P(3.werden.herangezogen) = P(1.Rechner.ausgefallen) + P(2.Rechner.ausgefallen) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} * 0,95^{4} * 0,05^{1} + \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} * 0,95^{3} * 0,05^{2} = 0,225060937 \end{eqnarray*}$

c)

$\begin{eqnarray*} 0,95^{5} = 0, 77378 \end{eqnarray*}$

d)

$\begin{eqnarray*} 1 - 0,95 = 3,125 * 10 hoch -7 \end{eqnarray*}$

e)
bin ich mir nicht sicher, dachte an diese Lösung, aber da komme ich auf 1,6..., des kann nicht stimmen.

P(Mehrheitsentscheid führt zu richtigem Ergebnis) =

P(Mehrheitsentscheid kommt zustande mit 1 Rechner) * P(1 Rechner liefert richtiges Ergebnis)

+ P(Mehrheitsentscheid kommt zustande mit 3 Rechner) * P(3 Rechner liefert richtiges Ergebnis)

+ P(Mehrheitsentscheid kommt zustande mit 5 Rechner) * P(5 Rechner liefert richtiges Ergebnis)

$\begin{eqnarray*} = 0,0011578 * 0,95+ 0,22506 * \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} * 0,95^{2} * (1-0,95)^{1} + 0,95^{3} + 0,77378 * 0,95 ????? \end{eqnarray*}$

3. Zwei Stapeljobs Sx und Sy müssen behandelt werden. Endzeitpunkte dafür sind 8 bzw. 8.10 Uhr. Diese Zeitpunkte sind mit Sigma = 20 min normalverteilt und unabhängig.

a) Sei Z eine zufallsvariable, die beschreibt, wie lange es vom ende des Jobs Sx bis zum Ende des Jobs Sy dauert. Geben Sie die Verteilung von Z an (Namen und sämtliche Parameter)

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Jobs innerhalb von 30 min fertig werden?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sy vor Sx fertig wird??

d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sx vor Sy spätestens um 8.30 Uhr fertig werden?

Lösung:
a)
kann es sein dass "mü" von Sx: 8 und "mü" von Sy 8,1 ist oder ist es 8,25?

4. Die Lebensdauer L eines Rechnersystems (Dauer bis zum Systemabsturz) ist exponentialverteilt mit einem erwartungswert von 3 Jahren
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System innerhalb der ersten 2 Jahre abstürzt?

b) In welchem Zeitraum stürzt das System mit eine Wahrscheinlichkeit von p = 0,95 ab?

c) Wie hoch ist die mittlere Lebensdauer, damit das System mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% mindestens die ersten 3 Jahre überlebt?

Lösung:

a)

Da der Erwartungswert hier 3 Jahre ist würde ich sagen ist $\begin{eqnarray*} \lambda= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , oder?

$\begin{eqnarray*} P(L<=2) = F(2)= 1- e^{\frac{-1}{3} *2} = 0,486582 \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} P(L<=x) = 0,95 => F(x) = 1- e^{\frac{-1}{3}*x} =0,95 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,05 = e^{\frac{-1}{3}*x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=8,98 \end{eqnarray*}$ ist etwas viel oder?

c)

$\begin{eqnarray*} P(L>=3) = 0,99 => 1 - P(L<3) = 0,99 =>1- F(3) = 0,99 => \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-(1-e^{-\lambda*3}) =0,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda*3} =0,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\lambda*3 = ln 0,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda = 0,00335 \end{eqnarray*}$

d)

$\begin{eqnarray*} P(L>3) = 1 - P(L<=3)= 1- F(3) => 1- F(3) = 1- e^{\frac{-1}{3}*3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0,3678 \end{eqnarray*}$

5. Eine Nachricht an einem Rechner komme in 6 Datenpacketen D1....D6 aufgespalten zur Bearbeitung an. Sie sind in einer beliebigen Reihenfolge und müssen daher in der Transportschicht wieder in die richtige Reihenfolge gebracht werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß

a) D1 das erste oder das letzte Datenpaket ist

b) dass D1 und D2 unmittelbar nacheinander eintreffen

c) dass D2 unmittelbar nach D1 eintrifft

d) dass D2 irgendwann nach D1 eintrifft

e) dass D1 das erste und D6 das letzte Datenpacket sind?

Lösung:

Würde sagen mit Geometrischer verteilung, bin mir aber nicht sicher:

a)

$\begin{eqnarray*} P(X=1 oder X=6) = (\frac{5}{6})^{0} * \frac{1}{6}+ (\frac{5}{6})^{5} * \frac{1}{6} =0,23364 \end{eqnarray*}$

beim Rest bin ich mir komplett unsicher

könnt ihr mir helfen??

Danke schonmal!!

02.02.2008, 15:32

vms01

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RE: Stochastik (Normalverteilung, Exponentialverteilung, usw.) für die Klausur
WICHTIG: Wenn es zu viel ist bzw. man es nicht so simpel lösen kann, mir wären Aufgabe 3 und und 5 am Wichtigsten, weil ich da keine Ahnung habe! Auch Aufgabe 6 ist mir wichtig, kann mir da keiner helfen??

02.02.2008, 16:57

therisen

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RE: Stochastik (Normalverteilung, Exponentialverteilung, usw.) für die Klausur
Es wäre besser, wenn du für jede Aufgabe ein eigenes Thema aufgemacht hättest. Würde man hier über alle Aufgaben diskutieren, so würde Chaos entstehen.

Zitat:

Original von vms01
5. Eine Nachricht an einem Rechner komme in 6 Datenpacketen D1....D6 aufgespalten zur Bearbeitung an. Sie sind in einer beliebigen Reihenfolge und müssen daher in der Transportschicht wieder in die richtige Reihenfolge gebracht werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß

a) D1 das erste oder das letzte Datenpaket ist

b) dass D1 und D2 unmittelbar nacheinander eintreffen

c) dass D2 unmittelbar nach D1 eintrifft

d) dass D2 irgendwann nach D1 eintrifft

e) dass D1 das erste und D6 das letzte Datenpacket sind?

Ich würde sagen, das ist nur Kombinatorik mit einem Ergebnisraum $\begin{eqnarray*} \Omega=\{(x_1,\dots, x_6)|~ x_i\in\{1,\dots, 6\}, x_i\neq x_j~\text{falls}~i\neq j \} \end{eqnarray*}$ .

02.02.2008, 17:54

vms01

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ok, danke für den Tipp, ich teile die Aufgaben mal nach Themengebiet auf!! Ich probier mal die Aufgabe mit deinem Tipp!!

02.02.2008, 19:56

vms01

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ok, wären dann "alle Möglichkeiten" meiner Meinung nach: ohne Wiederholung und mit Reihenfolge, d.h 6! = 720 ,oder?

02.02.2008, 20:52

therisen

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Ja, $\begin{eqnarray*} |\Omega|=6! \end{eqnarray*}$ .

03.02.2008, 03:22

vms01

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ok ich hätte die mal gelöst bin mir aber unsicher ob das stimmt, weiß nicht genau ob ich teilweise addieren oder multiplizieren musste!!

a) $\begin{eqnarray*} \frac{1*5!}{6}! + \frac{1*5!}6! = \frac{2}{6} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{5*2*4!}{6!} + \frac{5*2*4!}{6!} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} = \frac13 \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \frac{1*5!}{6!} + \frac{1*4*4!}{6!} + \frac{1*3*4!}{6!} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1*2*4!}{6!} + \frac{1*1*4!}{6!} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

e) $\begin{eqnarray*} \frac{1*5!}{6!} * \frac{1*5!}{6!} = \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$

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