Selbstadjungierte Abb. in unitären Vektorräumen |
| 20.07.2005, 12:53 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Selbstadjungierte Abb. in unitären Vektorräumen
Moin, moin, Hab´ hier eine Aufgabe, bei der ich noch Lücken habe. Bin für jeden Hinweis dankbar. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über C mit Skalarprodukt (V ist unitär) Definition: Eine lineare Abb. f von V in sich heißt selbstadjungiert, falls für alle v, w aus V gilt: <f(v),w>=<v,f(w)> a) Zu jeder hermitischen Form [,] gibt es eine Orthonormalbasis von V, die auch bezgl. [,] eine Orhogonalbasis ist. Sobald man eine ONB hat ist klar das sie auch eine OGB ist. Aber wie ich ihre Existenz zeige ist mir noch unklar. b) Jede selbstadjungierte lin. Abb. von V in sich ist diagonalisierbar und hat nur reelle Eigenwerte. Beweis: Betrachte einen Eigenvektor v von f ( dessen Existenz ist Gegenstand einer anderen Aufgabe die ich in einem anderem Thread posten werd ) und das zu <v> orthogonale Komplement . Um zu zeigen dass f den Unterraum W in sich abbildet, prüfen wir ob für beliebiges w aus W auch f(w) senkrecht auf v steht: <f(w), v> = <w, f(v)> = <w, kv> = k*<w,v>=0 . (k*:=k konjugiert) Also ist f(W) eine Teilmenge von W und da f bijektiv ist, gilt Gleichheit f(W)=W, und die Einschränkung g von f auf W ist eine selbstadjungierte lineare Abbildung von W in sich. Da W die Dimension n-1 hat, kann man jetzt Induktion anwenden: Es gibt eine Basis C von W, so dass die Darstellungsmatr. eine Diagonalmatrix ist. Setze , dann ist B eine Basis von V mit der Eigenschaft, dass eine Diagonalmatrix ist. Also ist f diagonalisierbar. c) Jede hermitische Matrix hat nur reelle Eigenwerte. Beweis: Das folgt direkt aus für die Werte im unteren und oberen Dreieck der Matrix, da (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 reell ist. Und auf der Hauptdiagonale stehen ohnehin nur reelle Zahlen, da gilt. mfg, phi. |
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