Normale an Graph durch Punkt

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Birneweich Auf diesen Beitrag antworten »
Normale an Graph durch Punkt
Hallo,ich hoffe ihr könnt mir nochmal helfen:

Habe bei folgender Aufgabe ein kleines Verständnisproblem:


und


Nun soll ich die 2 Normalen an den Graphen bestimmen,die durch A gehen!

Nun habe ich folgendes gemacht:

Um die Tangentensteigung des Graphen zu bestimmen,erstmal die 1.Ableitung:

Die Steigung der Normalen ist ja definiert durch




also lautet die Steigung:


Wenn ich das nun in die Normalengleichung

einfüge,lautet es

also

Das kann ja nicht sein,oder?
Ich schätze es muß lauten


Aber wie komme ich dahin?
Nochmal die Ableitung der Tangentensteigung???

Bitte um Aufklärung!
Danke!

(P.S.Eilt nicht,bin erst wieder morgen früh online!)
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale an Graph durch Punkt
Zitat:
Original von Birneweich
also lautet die Steigung:


Wenn ich das nun in die Normalengleichung

einfüge,lautet es


x bezeichnet bei dir zwei unterschiedliche Dinge. Einmal ist es die Variable der Steigungsfunktion der Tangentennormalen und einmal ist es die Variable einer ganz bestimmten Tangentennormalenfunktion.

Du hast eine Tangentennormalenfunktion . Du weißt, dass und du weißt, dass . Damit solltest du die Tangentennormalen bestimmen können.

[edit]Was vergessen...[/edit]
 
 
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale an Graph durch Punkt
Gibt es nicht nur eine Normale durch einen gegebenen Punkt an einen Graphen mit der Funktion f(x)?? geschockt

Zitat:
Nun soll ich die 2 Normalen an den Graphen bestimmen,die durch A gehen!
Denjell Auf diesen Beitrag antworten »




so müsstes eigentlich stimmen
datAnke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale an Graph durch Punkt
hallo,

wenn ich das richtig sehen sind das schon zwei

ich denk glaub mal wieder zu einfach, aber ich hab folgendes gemacht,

ich betrachte erstmal nur einen pkt der zweite kommt dann schon noch Augenzwinkern

der der schnittpkt mit der normalen hat die korrdinaten
demzufolge ist

so nun hab ich aber auch zwei punkte einmal und den
mit zwei punkten bekommt super lecker auch m raus dann gleichsetzen und nach a auflösen

das war es dann schon
bis de´nne datAnke
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale an Graph durch Punkt
ich bin dennoch der meinung, dass so wie es gerade dort ist und in der aufgabenstellung anklingt:

Zitat:
Birneweich: die Normalen an Graph durch Punkt A



dass es viele tangenten geben kann, deren normale durch den Punkt A(0|4) gehen können.


@datanke: welche Steigung hast du denn da gerade ausgerechnet?
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem NUR EINEN ist so nicht ganz richtig.
Beispiel Tangente an f(x)=cos(x) in P(0|1)
datAnke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale an Graph durch Punkt
hi,
brunsi, es sind sogar drei !!! Augenzwinkern
dummerweise kann ich dir keine zeichnung posten
sie sieht so aus wie bei Denjell und an den schnittpkt verlaufen die tangenten und die dritte ist dann die x-achse
über die 1.ableitung steigung der tangente steigung der normalen

jetzt nenn ich ich den punkt
steigung für die normale ist nun

nun mit der zwei-pkt-formel

















bis denne datAnke
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ähm die x-Achse verwirrt wie das denn, dazu müsste doch die Steigung definiert sein, ist sie aber für x=0 nicht und dadurch verläuft doch der Graph der Funktion.


edit1: ich meine nur eine normale gibt es in dem punkt nicht, aber tangente schon. und daher vielleicht nur DIE 2 Normalen.


edit2: ähm wozu benutzt du die 2 Punkte-Form denn? welche Steigung ist dass denn jetzt? die Steigung der Tangenten oder der Normalen?


die Steigung der Tangenten ist mit 2a ja schon gegeben.
datAnke Auf diesen Beitrag antworten »

hi brunsi

wenn T(0,0)

f'(x)=2x

dann ist m=0
und somit die x-achse


die x-achse ist an dem pkt(0,0) für die tangente
und die normale ist die y-achse und geht durch (0,4)

datAnke
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

jup hab ja nicht gesagt, dass bei T(0|0) keine Tangente ist, ich hab lediglich gesagt, dass dort keine Normale liegen kann.


und lies dir bitte noch mal meinen obigen post durch. da war ncoh eine frage!!


edit1: es wäre wirklich gut,w enn du mir erklären könntest, was du nun versucht hast auszurechnen? mit der 2-Punkte-Form, vor allem was du da gemacht hast??


edit2: geht nicht, denn eine normale ist dadurch gekennzeichnet, dass sie senkrecht zur Tangenten steht.

ihre steigung also nach der Formel:

definiert ist und das ist hier nicht der fall.


edit: und das würde ja bedeuten, da die Steigung der Tangenten 0 ist, das gilt:

und das geht ja nciht. wegen nicht definiert.
datAnke Auf diesen Beitrag antworten »

hi brunsi,

es ist die steigung der normalen die durch den pkt und den pkt geht


datAnke
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ozu denn so umständlich? eine Gerade hat überall die gleiche Steigung, da es eine lineare Funktion ist.

und die Steigung der Normalen hast du bereits gegeben mit


außerdem hast du hier einen umformungsfehler:





beachte, dass du das minus nicht einfach aus dem nenner vor den bruch ziehen kannst, sondern dann auch den zähler ändern musst.

daher überprüfe die werte für a noch einmal.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von brunsi
jup hab ja nicht gesagt, dass bei T(0|0) keine Tangente ist, ich hab lediglich gesagt, dass dort keine Normale liegen kann.


Frage in die Runde: ist eine Normale eine Funktion oder "nur" eine Gerade?

Denn die Gerade mit der Gleichung x=0 steht senkrecht zur Tangente im Punkt T(0/0) . Damit ist es IMHO eine Normale. Es ist lediglich keine Funktion. Oder sehe ich da etwas falsch?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

auch auf die gefahr hin, dass ich jetzt etwas falsches sagen könnte, aber ist eine Gerade nicht ein lineare Zuordnung und damit eine Funktion?
datAnke Auf diesen Beitrag antworten »

hi brunsi ,


ich seh kein rechenfehler,
zeichung passt auch



siehe die zeichnung von Denjell

datAnke
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du das hier schreibst:

und du ziehst das "-" aus dem nenner nach vorne, dann ändert sich auch der term im zähler.

prüfe doch mal ob diese beiden terme gleich sind:




falls sie gleich sein sollten habe ich mich eben geirrt, könnte passieren, falls nciht, dann stimmen deine werte evtl. nicht.
datAnke Auf diesen Beitrag antworten »

hi brunsi,

es ist das gleiche


beide seiten |*(-a)





datAnke
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

edit: nee ist es nicht, denndas minus beziehts ich doch auc auf den nenner und dann würde nach dem kürzen auf der rechtens eite nur stehen:




edit: kanna uch sein,d ass ich jetzte in gesetzt falsch anwende. das minus vor einem bruch bezieh sich doch imme ruaf zähler und nenner oder?
datAnke Auf diesen Beitrag antworten »

hi du,



-0,5=-0,5



Tanzen

datAnke
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von brunsi
auch auf die gefahr hin, dass ich jetzt etwas falsches sagen könnte, aber ist eine Gerade nicht ein lineare Zuordnung und damit eine Funktion?


Nein. Eine Gerade ist einfach nur eine unendlich lange gerade Linie. (besser konnte ich es nicht ausdrücken Augenzwinkern ). Eine Funktion ordnet jedem Element aus dem Definitionsbereich genau ein Element aus dem Wertebereich zu.

Somit kann es also Geraden geben, die keine Funktion sind. Beispiel ist ja hier gegeben: x=0.
Aber ist jede Normale auch eine Funktion? verwirrt
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du wieder so kommst dann wohl nicht. s. dieses Beispiel!! verwirrt verwirrt geschockt Hilfe
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Aber diesmal weiß ich es wirklich nicht Augenzwinkern Hilfe
Crock Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,...
ich fand die Aufgabe recht interessant, und wollte eigentlich nur mal testen, ob ich das auch kann *g*.
Ich habs erst ohne lesen versucht, aber selbst mit finde ich die richtige Loesung irgendwie nicht.

Hab mir also eine Aufgabe in der Art selbst gestellt, aber es ist nicht das rausgekommen, was sollte.

Ich schreib mal meine Rechnungen hier nieder und bitte darum, mal nach dem Denkfehler zu suchen.

Die Funktion, zu der eine Normale gefunden werden soll:


Der Punkt, durch der diese gehen soll:


Die Steigung der Normalen an der Stelle a der Funktion f:


Also ist das a der Funktion

gesucht (das b ist uns ja vom gegebenen Punkt bekannt).

ALso hab auch ich den Ansatz gefunden/genommen, das die Normale den Graphen von f an dem Punkt

schneidet.

ALso auch hier die 2-Punkt-Formel fuer

Durch gleichsetzen mit der ersten Ableitung von f nach x ():

Auf beiden Seiten *a

Auf beiden Seiten -1



Das setzen wir nun bei in g ein:



So, aber es sieht nicht so aus wie es soll:


Weil das ist nicht wirklich eine Normale, oder taeuscht das?
Mir scheint das nicht sehr rechtwiklich zur Tangente...
Bitte einmal ueberpruefen smile
datAnke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Crock
Hallo,...
ich fand die Aufgabe recht interessant, und wollte eigentlich nur mal testen, ob ich das auch kann *g*.
Ich habs erst ohne lesen versucht, aber selbst mit finde ich die richtige Loesung irgendwie nicht.

Hab mir also eine Aufgabe in der Art selbst gestellt, aber es ist nicht das rausgekommen, was sollte.

Ich schreib mal meine Rechnungen hier nieder und bitte darum, mal nach dem Denkfehler zu suchen.

Die Funktion, zu der eine Normale gefunden werden soll:


Der Punkt, durch der diese gehen soll:


Die Steigung der Normalen an der Stelle a der Funktion f:

....



hi du, leider hast du da leider einen fehler
die 1.Ableitung ist



hoffe das hilft dir weiter

datAnke
Crock Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Hammer
Naaagut... das laesst mich jetzt natuerlich doppelt erroeten.
1.) Verdammt, Ableiten soltle ich schon koennen.
2.) Ich kan ndie Aufgabe nicht mehr loesen, weil in der Schule noch keine Polynome > 2. Grades geloest habe. Das mein vorheriger Weg fuer mich lesbar war, war Glueck. Vielleicht schmeisst mir jemand ein Stichwort hier rein, mit dem ich weiterkomme (dann lern ich auch mal wieder was ;-) )

Also setzen wir hier wieder an:


[...]Bleibt ja alles entsprechen gleich dazwischen[...]


Wieder gleichsetzen:

Auf beiden Seiten *a^2



So, und hier hoert mein Wissen auf unglücklich . Nach was soll ich suchen, um hier weiterrechnen zu koennen Hilfe ?

Danke Forum Kloppe
Birneweich Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ihr fleissigen Helfer!

Mit so einer regen Beteiligung an meinem Problem hatte ich gar nicht gerechnet.Vielen Dank an alle.

Aber schon User "sqrt" hat mich auf die richtigen Schlüsse gebracht.
Habe also den Fehler gemacht,Äppel mit Birnen zu vergleichen.

Erst im Schnittpunkt ist xf=xn und kann herausgekürzt werden,nicht aber schon bei der Aufstellung der Normalengleichung,die da lautet:



Dort heißt es dann

Und da lautet die Normalengleichung:



Und im Schnittpunkt sind xn und xf identisch,also heißt es:





also

und der Rest ist simpel!

Also,vielen Dank für eure Hilfe!
Birneweich Auf diesen Beitrag antworten »


So, und hier hoert mein Wissen auf unglücklich . Nach was soll ich suchen, um hier weiterrechnen zu koennen Hilfe ?

Danke Forum Kloppe [/quote]

Nun mußt du die Nullstellen herausfinden.(hab´s berechnen lassen....!)
Die gefundenen Punkte in Normalensteigung einsetzen.Dann erhälst du die Steigung der Normalen in diesen Punkten.

Zum Schuß noch in die Normalengleichung einsetzen,fertig!
Crock Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Birneweich
Nun mußt du die Nullstellen herausfinden.(hab´s berechnen lassen....!)


Das ich das machen muss, ist mir klar... aber wie?
In Taschenrecher eingeben kann ich auch, aber es gibt doch bestimmt so ne Art pq-Formel fuer Polynome 4ten Grades oder so?
(Das ist das Wissen was mir fehlt, wie ich Nullstellen von Polynomen > 2. Grades errechne)
Birneweich Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,hab ich schon mal irgendwo gelesen,daß es die gibt,soll allerdings sehr kompliziert sein.

Nullstellenberechnung dieser Art geht,glaube ich,leichter mit dem Newton-Verfahren oder der regula falsi.

Wenn´s dich interessiert google mal oder guck bei Wikipedia.
Denjell Auf diesen Beitrag antworten »

die für 3. grad hab ich schon gesehn, und die is schon kompliziert, google doch einfach mal danach, bis zum 4. grad existiert eine solche formel zumindest
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

@denjell: welche Formel meinst du? zur bestimmung der Nullstellen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nullstellen mit newton, konvergiert sehr rasch
werner
Crock Auf diesen Beitrag antworten »

//edit: Ok Sorry, hab die 3 Seite jetzt erst gesehen, dann scheinen meine Ergebnisse ja doch richtig (vielleicht helfen sie ja jemandem beim Verstaendniss) geschockt Danke... Das staerkt mein Selbstbewusstsein verwirrt Augenzwinkern

Also ich hab das ganze jetzt noch 3 mal durchgerechnet und es kommt immernoch nicht das Ergebnis was soll. Entweder leigt es daran, das ich Approximieren musste (weil sonst 'nen Overflow bei meinem Taschenrechner kam beim errechnen der Nullstellen), oder weil ich irgendwo 'nen Denkfehler hab. Ich schreib hier nochmals meine Rechnungen nieder:



Punkt, durch den die Normale(n) gehen soll:

Die Normalensteigung an der Stelle a der Funktion f:


Gesucht ist also immernoch Augenzwinkern das a fuer die Funktion


da N(a) der Steigung der Normalen entspricht, koennen wir auch die 2-Punktformel anweden. Und zwar auf


Wir koennen fuer die Steigung m auch -1 geteilt durch 1. Ableitung von f nach x einsetzen ()

Auf beiden Seiten *a^2

Alles auf eine Seite bringen:


Ich hab jetzt per Newton-Verfahren die Nullstellen approximiert:



Diese Werte fuer a eingesetzt in stimmen (fast).

Jetzt diese Werte jeweils in g einsetzen



Das sollten jetzt eigentlich 2 Normalen vom Graph f sein, die den Punkt A(0|-1) schneiden.

Zu meinem eigenen erstaunen, sieht es hier sehr viel besser aus, als bei mir auf dem Taschenrechner (und auch in Derive!!). Diese kleinen Abweichungen koennen jetzt glaub ich auch durch die Annaehrung kommen, bitte trotzdem einmal durchschauen.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Hier einmal der gleiche Graph mit anderen Bereichen für x und y, so dass eine 45°-Gerade auch unter ca. 45° verlaufen würde:



Bei winkeltreuen Darstellungen muss auch der Maßstab beachtet werden, mit dem die Koordinatenachsen dargestellt werden.
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