Münzwurf und Würfelspiel

02.02.2008, 10:56

Pepperchen1983

Münzwurf und Würfelspiel

Hallo!
Ich hab gedacht ich komm um Stochastik rum - Fehlanzeige!
Ich hab früher nämlich nie Stochastik bzw. Kombinatorik gehabt und es fällt mir ziemlich schwer.

a) Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten "16 über k" für k = 0, 1,…, 16 und stellen Sie diese graphisch dar. Berechnen Sie auch die Wahrscheinlichkeiten für
„k-mal Wappen“ beim Wurf von 16 Münzen.
Angenommen, das Zufallsexperiment „Werfen von 16 Münzen“ wird 5000-mal durchgeführt; wie oft wird voraussichtlich das Ergebnis „genau 8-mal Wappen“ vorkommen? Wie oft werden weniger als drei Münzen „Wappen“ zeigen?
Vergleichen Sie mit den Häufigkeiten aus einer Simulation (s. Tabelle)
k ; H(k)
0; 0
1; 1
2; 7
3; 50
4; 113
5; 334
6; 617
7; 866
8 ; 979
9 ; 906
10 ; 621
11 ; 308
12 ; 145
13 ; 44
14 ; 8
15 ; 0
16 ; 1

Die Binomialkoeffizienten hab ich schon ausgerechnet und ich weiß auch, dass ich k Elemente aus n Elementen wähle. Aber mehr weiß ich eben nicht
Achso... und wenn man die Ergebnisse graphisch darstellt, kommt 'ne nach unten geöffnete Parabel bei raus

b) Würfelspiel:
Der Einsatz beträgt 1€. Es wird mit 2 Würfeln gespielt. Bei „Pasch“ (2 gleiche Zahlen) zahlt die Bank 2€ aus, und bei Augensumme 3 zahlt sie 10€. Andernfalls ist der Einsatz futsch.
Wie groß ist der Erwartungswert für den Gewinn des Spielers?

Und hier weiß ich gar nicht, wie ich dran gehen soll unglücklich

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Danköööö

02.02.2008, 13:21

tigerbine

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Zitat:

Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten "16 über k" für k = 0, 1,…, 16

Einfach in die Formel einsetzen. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}16 \\ k\end{pmatrix} = \frac{16!}{k!(16-k)!} \end{eqnarray*}$

Zitat:

und stellen Sie diese graphisch dar.

Naja, eine diskrete Zeichnung sollte auch ohne Probleme möglich sein.

Zitat:

Berechnen Sie auch die Wahrscheinlichkeiten für „k-mal Wappen“ beim Wurf von 16 Münzen.

Stichwort: Binomialverteilung

$\begin{eqnarray*} B_{16}(X=k) = \begin{pmatrix}16 \\ k\end{pmatrix} \cdot p^k\cdot (1-p)^{16-k} \end{eqnarray*}$

Wie ws ist es bei einer Münze Wappen zu haben (=> wie groß ist also p?)? Die 16 Münzen sind stochastich unabgängig. Ist wie 16mal mit einer Münze.

Zitat:

Angenommen, das Zufallsexperiment „Werfen von 16 Münzen“ wird 5000-mal durchgeführt; wie oft wird voraussichtlich das Ergebnis „genau 8-mal Wappen“ vorkommen?

Hier liegen nun 2 ineinander geschachtelte Experimente vor. 5000mal führen wir den 16fachen Münzwurf durch. Dazu brauchen wir für das innere Experiment die eben berechnete WS für k=8.

$\begin{eqnarray*} \hat p = B_{16}(X=8) \end{eqnarray*}$

Dann das äußere Experiment berechnen. n ist hier schon sehr groß. Vielleicht dürft ihr da auch schon Näherungsformeln verwenden?

Zitat:

Wie oft werden weniger als drei Münzen „Wappen“ zeigen?

Hier musst du erstmal wissen, was das ist

$\begin{eqnarray*} B_{16}(X <3) \end{eqnarray*}$

03.02.2008, 21:10

Pepperchen1983

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Ich hab mir das jetzt mal angesehen, und versteh rein gar nichts!

Diese Formeln seh ich zum ersten Mal!

03.02.2008, 21:54

tigerbine

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Dann musst du wohl einiges nachholen. Die Stichworte kennst Du nun ja. Augenzwinkern