Topologie - Stetigkeit lokal konstanter Funktionen

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gothino Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie - Stetigkeit lokal konstanter Funktionen
Hallo, folgendes Aufgabe ist mir tlw. rätselhaft:

- Eine Funktion zwischen topologischen Räumen heißt lokal konstant, wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, sodass . Zeige dass jede lokal konstante Funktion stetig ist und dass auf jeder Zusammenhangskomponente von X konstant ist.

Zweiterer Teil (dass auf Zshkomponente konstant) hab ich schon gezeigt, aber bei der Stetigkeit steh ich an.
Mein Ansatz wäre: Muss zeigen dass für jede offene Umgebung von die Menge wieder offen ist.
Weit komm ich da aber nicht. Kann nur sagen dass wenn diese Bedingung zutrifft, dann
sein muss. Die Bildmenge hat also höchsten soviel Punkte wie es Zusammenhangskomponenten in der Definitionsmenge gibt, und diese einzelnen Punkte sind offen..
Aber wie komm ich da auf die Stetigkeit?
Danke und lg
Gothino
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie - Stetigkeit lokal konstanter Funktionen
Zitat:
Original von gothino
Zweiterer Teil (dass auf Zshkomponente konstant) hab ich schon gezeigt, aber bei der Stetigkeit steh ich an.
Mein Ansatz wäre: Muss zeigen dass für jede offene Umgebung von die Menge wieder offen ist.
Weit komm ich da aber nicht. Kann nur sagen dass wenn diese Bedingung zutrifft, dann
sein muss. Die Bildmenge hat also höchsten soviel Punkte wie es Zusammenhangskomponenten in der Definitionsmenge gibt, und diese einzelnen Punkte sind offen..
Aber wie komm ich da auf die Stetigkeit?


Es könnte hilfreich sein, wenn du deinen Beweis zu den Zusammenhangskomponenten einmal zeigst.

Zur Stetigkeit: du hast jetzt eine Urbildmenge und willst zeigen, dass sie offen ist. Dazu kannst du ausnutzen, dass f in jedem Punkt der Urbildmenge lokal konstant ist. Was bedeutet das genau ? Erstmal sauber hinschreiben und dann versuchen weiter zu schlußfolgern.

Grüße Abakus smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Auch ich muss (mich TomTomTom anschließend) sagen, dass ich mich kaum auskenne mit dem Thema der topologischen Räume. Insofern ist mein Vorschlag mit Vorsicht zu genießen! Aber ich habe einfach mal übertragen, was ich in mir bekannten Räumen (z.B. den reellen Zahlen) bei dieser Aufgabe gemacht hätte:

Sei also eine offene Umgebung von . Betrachte für jedes (feste) die Menge

.

Was hat jeder dieser Mengen für eine Eigenschaft und warum ist das so? (Hier bin ich mir selbst unsicher, wie man das begründet - eben weil ich keine Ahnung von dem Thema hab. Augenzwinkern )
Zeig dann, dass



gilt.

Falls ich hier Mist geschrieben habe, so verzeihe man mir und ignoriere es. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@gothino: Nimm folgende Charakterisierung:

f : X --> Y ist stetig in x genau dann, wenn es zu jeder offenen Umgebung V von f(x) (in Y) eine offene Umgebung U von x gibt, so dass gilt.

Was musst du hier wohl als U wählen, hm? Augenzwinkern
gothino Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
@gothino: Nimm folgende Charakterisierung:

f : X --> Y ist stetig in x genau dann, wenn es zu jeder offenen Umgebung V von f(x) (in Y) eine offene Umgebung U von x gibt, so dass gilt.

Was musst du hier wohl als U wählen, hm? Augenzwinkern


Hallo WebFritzi,

für
wobei U natürlich die offene Umgebung von x ist die auf f(x) abgebildet wird
müßte eigentlich schon die Lösung sein, oder
danke und lg
gothino

PS: verwirrt Warum habe ich nicht an Umgebungen gedacht??
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