Topologie - Stetigkeit lokal konstanter Funktionen |
02.02.2008, 12:13 | gothino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Topologie - Stetigkeit lokal konstanter Funktionen - Eine Funktion zwischen topologischen Räumen heißt lokal konstant, wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, sodass . Zeige dass jede lokal konstante Funktion stetig ist und dass auf jeder Zusammenhangskomponente von X konstant ist. Zweiterer Teil (dass auf Zshkomponente konstant) hab ich schon gezeigt, aber bei der Stetigkeit steh ich an. Mein Ansatz wäre: Muss zeigen dass für jede offene Umgebung von die Menge wieder offen ist. Weit komm ich da aber nicht. Kann nur sagen dass wenn diese Bedingung zutrifft, dann sein muss. Die Bildmenge hat also höchsten soviel Punkte wie es Zusammenhangskomponenten in der Definitionsmenge gibt, und diese einzelnen Punkte sind offen.. Aber wie komm ich da auf die Stetigkeit? Danke und lg Gothino |
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02.02.2008, 14:05 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Topologie - Stetigkeit lokal konstanter Funktionen
Es könnte hilfreich sein, wenn du deinen Beweis zu den Zusammenhangskomponenten einmal zeigst. Zur Stetigkeit: du hast jetzt eine Urbildmenge und willst zeigen, dass sie offen ist. Dazu kannst du ausnutzen, dass f in jedem Punkt der Urbildmenge lokal konstant ist. Was bedeutet das genau ? Erstmal sauber hinschreiben und dann versuchen weiter zu schlußfolgern. Grüße Abakus |
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02.02.2008, 14:05 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch ich muss (mich TomTomTom anschließend) sagen, dass ich mich kaum auskenne mit dem Thema der topologischen Räume. Insofern ist mein Vorschlag mit Vorsicht zu genießen! Aber ich habe einfach mal übertragen, was ich in mir bekannten Räumen (z.B. den reellen Zahlen) bei dieser Aufgabe gemacht hätte: Sei also eine offene Umgebung von . Betrachte für jedes (feste) die Menge . Was hat jeder dieser Mengen für eine Eigenschaft und warum ist das so? (Hier bin ich mir selbst unsicher, wie man das begründet - eben weil ich keine Ahnung von dem Thema hab. ) Zeig dann, dass gilt. Falls ich hier Mist geschrieben habe, so verzeihe man mir und ignoriere es. |
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02.02.2008, 15:49 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@gothino: Nimm folgende Charakterisierung: f : X --> Y ist stetig in x genau dann, wenn es zu jeder offenen Umgebung V von f(x) (in Y) eine offene Umgebung U von x gibt, so dass gilt. Was musst du hier wohl als U wählen, hm? |
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02.02.2008, 17:28 | gothino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo WebFritzi, für wobei U natürlich die offene Umgebung von x ist die auf f(x) abgebildet wird müßte eigentlich schon die Lösung sein, oder danke und lg gothino PS: Warum habe ich nicht an Umgebungen gedacht?? |
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