Ebenennormale und Rotation

02.02.2008, 11:18

poiz

Ebenennormale und Rotation

Gegeben ist eine Menge von Punkten $\begin{eqnarray*} P_{i} \end{eqnarray*}$ , die auf einer Ebene im Raum liegen. Nun möchte ich den Ebenennormalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dieser soll aber immer entlag der positiven z-Achse des kartesischen Koordinantensystems zeigen. $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ berechne ich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = (P_{2} -P_{1}) \otimes (P_{3} -P_{1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \frac{\vec{n}}{\mid \vec{n} \mid } \end{eqnarray*}$

Nun bin ich mir aber nicht sicher, ob das Resultat des Kreuzproduktes in jedem Fall (beliebige Ebene im Raum, Punkte auf Ebene zufällig gewählt) den gewünschten Ebenennormalenvektor mit positiver z-Komponente gibt?

Nun möchte ich das Koordiatensystem so drehen, dass die z-Achse in die gleiche Richtung wie der berechnete Ebenennormalenvektor zeigt. Nun kann man ja ein System mit der Standardbasis (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) in ein System (v1,v2,v3) (w1,w2,w3) (n1,n2,n3) mit folgender Matrix transformieren:
$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} v_1 & w_1 & n_1 \\ v_2 & w_2 & n_2 \\ v_3 & w_3 & n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wobei v,w und n orthogonal und normiert sein müssen. Zusätzlich zu n berechne ich noch v und w, so dass sie normiert und auf n und aufeinander senkrecht stehen:

$\begin{eqnarray*} \vec{w}=P_{2} - P_{1} \end{eqnarray*}$ (wieder beliebige Punkte auf der Ebene gewählt -> w liegt in der Ebene)

$\begin{eqnarray*} \vec{v}= \vec{w}\otimes\vec{n} \end{eqnarray*}$ (v liegt in der Ebene und ist rechtwinklig zu w und n)

$\begin{eqnarray*} \vec{w} = \frac{\vec{w}}{\mid \vec{w} \mid } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \frac{\vec{v}}{\mid \vec{v} \mid } \end{eqnarray*}$

Ist die Berechnung von v und w bzw. der Transformationsmatrix soweit korrekt?

Nun kann ich beliebige Punkte wie folgt in das neue System transformieren:
$\begin{eqnarray*} P^{'} =[P_{x} P_{y} P_{z}]*M \end{eqnarray*}$

Ist es nun möglich, dass für Punkte im ursprünglichen Koordinantensystem, welche ich mit der Matrix M transformiere, in der z-Komponente das Vorzeichen wechselt?

02.02.2008, 12:07

mYthos

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RE: Ebenennormale und Rotation
Obwohl ich vom übrigen Text (zu) wenig verstehe:

Zitat:

Original von poiz
...
Nun möchte ich den Ebenennormalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dieser soll aber immer entlag der positiven z-Achse des kartesischen Koordinantensystems zeigen.
...

Dies bedingt sofort, dass alle Punkte in einer zur x-y - Ebene parallelen Ebene liegen müssen und nicht mehr in einer beliebigen.

mY+

02.02.2008, 12:49

poiz

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Ah ok, da hab ich mich falsch ausgedrückt bezüglich der Berechnung des Ebenennormalenvektors: Ich möchte diesen so berechnen, dass er immer eine positive z-Komponente hat. Also ich möchte, dass der Vektor wie hier dargestellt nach "oben" zeigt und nicht nach "unten".
Meine (erste) Frage war nun, ob das angegebene Kreuzprodukt immer diesen gewünschten Vektor "nach oben" berechnet. Falls das nicht so ist, kann ich ja einfach das Vorzeichen der Komponenten wechseln (Gegenvektor).

Ist der zweite Teil, mit der Drehung des Koordinatensystems auch unklar? Ziel ist es, das Koordinatensystem so zu drehen, dass die Ebene im Raum im transformierten Koordinatensystem orthogonal zur xy-Ebene steht. Die z-Achse des transformierten Koordiatensystems wird dann "parallel" zur Normale der Ebene.

[edit]
Falls die Fragen etwas merkwürdig scheinen, ich berechne das Ganze in einem Computergprogramm...
[/edit]

02.02.2008, 13:15

mYthos

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Der Normalvektor als Ergebnis des Kreuzproduktes von zwei Vektoren geht aus den beiden Vektoren immer so hervor, wie die z-Achse aus der x- und y-Achse des Koordinatensystemes. Dreht man also die x-Achse um +90° in die y-Achse, so zeigt (bei einem Rechtssystem) die positive z-Achse nach oben (Korkzieher-Regel).
Analog ist $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ so gerichtet, dass er in jene Richtung zeigt, die sich gemäß o.a. Regel ergibt, wenn man a um einen (wichtig!) positiven* Winkel in b hineindreht.

Deswegen kann man keinesfalls davon ausgehen, dass der Normalvektor immer "nach oben" zeigt. Man muss daher erst die Vektoren a und b entsprechend positionieren.

* Winkel positiv: Drehrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn

mY+

02.02.2008, 13:50

poiz

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Ok, danke für die Aufklärung bezüglich des Kreuzproduktes!

Und wie sieht es mit dem zweiten Teil aus?
Wie erwähnt ist es das Ziel, das Koordinatensystem so zu drehen, dass die Ebene im Raum im transformierten Koordinatensystem orthogonal zur xy-Ebene steht. Die z-Achse des transformierten Koordinatensystems wird dann "parallel" zur Normalen der Ebene.

Zitat:

Original von poiz
Nun möchte ich das Koordiatensystem so drehen, dass die z-Achse in die gleiche Richtung wie der berechnete Ebenennormalenvektor zeigt. Nun kann man ja ein System mit der Standardbasis (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) in ein System (v1,v2,v3) (w1,w2,w3) (n1,n2,n3) mit folgender Matrix transformieren:
$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} v_1 & w_1 & n_1 \\ v_2 & w_2 & n_2 \\ v_3 & w_3 & n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wobei v,w und n orthogonal und normiert sein müssen. Zusätzlich zu n berechne ich noch v und w, so dass sie normiert und auf n und aufeinander senkrecht stehen:

$\begin{eqnarray*} \vec{w}=P_{2} - P_{1} \end{eqnarray*}$ (wieder beliebige Punkte auf der Ebene gewählt -> w liegt in der Ebene)

$\begin{eqnarray*} \vec{v}= \vec{w}\otimes\vec{n} \end{eqnarray*}$ (v liegt in der Ebene und ist rechtwinklig zu w und n)

$\begin{eqnarray*} \vec{w} = \frac{\vec{w}}{\mid \vec{w} \mid } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \frac{\vec{v}}{\mid \vec{v} \mid } \end{eqnarray*}$

Ist die Berechnung von v und w bzw. der Transformationsmatrix soweit korrekt?

Nun kann ich beliebige Punkte wie folgt in das neue System transformieren:
$\begin{eqnarray*} P^{'} =[P_{x} P_{y} P_{z}]*M \end{eqnarray*}$

Ist es nun möglich, dass für Punkte im ursprünglichen Koordinantensystem, welche ich mit der Matrix M transformiere, in der z-Komponente das Vorzeichen wechselt?

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