Beweis: Kongruenz

21.07.2005, 12:46

Gast01234

Beweis: Kongruenz

Hallo

habe ihr eine Aufgabe, mit der ich nicht weiterkomme traurig

:

Man beweise: Die Summe der Kuben (3. Potenzen) dreier natürlicher Zahlen ist genau dann durch 6 teilbar, wenn die Summe dieser drei Zahlen durch 6 teilbar ist.

Vielen Dank für eure Mühen

David

21.07.2005, 13:18

Egal

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Also ich hab mir da mal was zusammengestrick für die eine Richtung. Ich will mal versuchen das zu skizieren:

Annahme ist das $\begin{eqnarray*} a+b+c\equiv 0 ~mod~ 6 \end{eqnarray*}$
Dann betrachte ich $\begin{eqnarray*} (a+b+c)^3 \end{eqnarray*}$ Was nach Annahme wieder durch 6 teilbar ist.
Ausmultiplizieren liefert uns eine Summe dabei kommt ein Summand mit 6 als Faktor vor der ist auf jedenfall durch 6 teilbar dann haben wir a^3+b^3+c^3 das wollen wir und dann haben wir noch die ganzen gemischten bei denen wir noch zeigen wollen das sie durch 6 teilbar sind.
Der Gemischte Kram ist bei mir zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} 3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b) \end{eqnarray*}$
Wenn die Summe in der Klammer nun gerade wäre wäre das ganze auch durch 6 teilbar. Das lässt sich aber leicht mit einer Fallunterscheidung unter der obigen Annahme zeigen und schon ist die eine Richtung gezeit.

21.07.2005, 13:32

gast01234

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mit deiner ersten Annahme gehe ich voll mit, aber muß es nicht anstatt $\begin{eqnarray*} ( a + b + c )³ \equiv 0 mod 6 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} ( a³ + b³ + c³ ) \equiv 0 mod 6 \end{eqnarray*}$ lauten ? Oder interpretiere ich da die Aufgabenstellung falsch ?

mfg
David

21.07.2005, 13:46

4c1d

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Zitat:

Original von gast01234
mit deiner ersten Annahme gehe ich voll mit, aber muß es nicht anstatt $\begin{eqnarray*} ( a + b + c )³ \equiv 0 mod 6 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} ( a³ + b³ + c³ ) \equiv 0 mod 6 \end{eqnarray*}$ lauten ? Oder interpretiere ich da die Aufgabenstellung falsch ?

mfg
David

Das zweite willst du ja gerade zeigen. Dazu kannst du aber das erste benutzen, da es direkt aus $\begin{eqnarray*} a+b+c\equiv 0 ~ mod ~ 6 \end{eqnarray*}$ folgt.

21.07.2005, 14:39

Egal

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Der Beweis für die Gegenrichtung ergibt sich unmittelbar aus dem Eulerschen Satz.

21.07.2005, 15:21

4c1d

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Aber kann man für die Gegenrichtung nicht einfach denselben Weg rückwärts gehen? Es folgt doch auch aus $\begin{eqnarray*} 6|a^3+b^3+c^3 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} 6 |(a+b+c)^3 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} a|b,a|c \Rightarrow a|b+c \end{eqnarray*}$ oder ? Zumindest ergeben sich doch bei $\begin{eqnarray*} a^3+b^3+c^3 \end{eqnarray*}$ dieselben Fallunterscheidungen wie vorher...

21.07.2005, 15:25

Egal

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Möglich das man da was machen kann in die Richtung die Idee mit dem Euler Satz fand ich nur auf die Schnelle schöner.

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