Suche Hilfe um Grenzwerte ohne l'Hospital zu berrechnen

21.07.2005, 19:49

Schlauchsteher

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Suche Hilfe um Grenzwerte ohne l'Hospital zu berrechnen

Wie gesagt sollen folgende Grenzwerte ohne die Regel von l'Hospital gelöst werden :

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2*x)}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

Meine Lösungsansätze :

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2*x)}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 * \frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 * \sin(x)}{\cos(x) * sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos(x)} = 2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

Kontrolle mit l'Hospital :
1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2*x)}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{cos^2(x)}}{\cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{cos^3(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{cos(x) * cos(x) * cos(x)} = 1 \end{eqnarray*}$

Hab ich mich jetzt bei der Lösung, oder der Kontrolle verrechnet ?
Und hat vielleicht jemand nen Ansatz zur 2. Aufgabe ?

Danke im Vorraus für alle Antworten.

21.07.2005, 20:01

Leopold

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RE: Suche Hilfe um Grenzwerte ohne l'Hospital zu berrechnen

Zitat:

Original von Schlauchsteher
Hab ich mich jetzt bei der Lösung, oder der Kontrolle verrechnet ?

Sowohl - als auch.
Bei der Lösung ohne L'Hospital behandelst du den Tangens wie eine lineare Funktion, indem du die 2 vor das Argument ziehst. Das ist ein schwerer Fehler! (Wegen des Limes davor sind dennoch alle Gleichheitszeichen korrekt, aber das ist sozusagen Zufall - richtige Rechnung trotz falscher Denkweise!)

Und bei der Lösung mit L'Hospital hast du die Kettenregel mißachtet.

Zur korrekten Lösung könntest du so umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\tan{(2x)}}{\sin{x}} = 2 \cdot \frac{\frac{\tan{(2x)}}{2x}}{\frac{\sin{x}}{x}} \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Aufgabe empfehle ich dir, den Bruch mit $\begin{eqnarray*} 1 + \cos{x} \end{eqnarray*}$ zu erweitern.

21.07.2005, 20:43

etzwane

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Die 1) könntest du auch so rechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x) \cos(x)}{ \sin(x) \cos(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x)}{\cos(2x)} = 2 \end{eqnarray*}$

Und bei der Kontrolle nach l'Hospital geht es im Zähler mit der Kettenregel so:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\tan(2x) \text{ und } f'(x)=\frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 \end{eqnarray*}$

21.07.2005, 23:18

Schlauchsteher

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Stimmt meine beiden Fehler bei der ersten Aufgabe sehe ich ein, ich weiss auch nicht, was mich da geritten hat. unglücklich

unglücklich

Die sollte aber jetzt so stimmen :

1.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}}{sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2*\sin(x)*\cos(x)}{\cos(2x)}}{sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 * \cos(x)}{\cos(2x)} = \frac{2 *1}{1} = 2 \end{eqnarray*}$

Kontrolle mit l'Hospital :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 * \frac{1}{\cos^2(x)}}{cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos^3(x)} = \frac{2}{1} = 2 \end{eqnarray*}$

Mit der 2. komm ich aber irgendwie noch nicht durch ...

2.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos(x)) * ( 1 + \cos(x) )}{x^2 * (1 + \cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos^2(x)}{x^2 + x^2 * \cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{1}{2} * (1 + \cos(2x))}{x^2 + x^2 * \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{1}{2} * (1 + \cos^2(x) - \sin^2(x))}{x^2 + x^2 * \cos(x)} = \end{eqnarray*}$ ?!?

Irgendwie komm ich mit der Erweiterung auch nicht wirklich weiter unglücklich

unglücklich

Kontrolle mit l'Hospital :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

22.07.2005, 08:46

Egal

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Bei der Kontrolle mit l'Hospital hast du 2x Vorzeichenfehler dadurch stimmt das Endergebnis.

Lösungsansatz:
$\begin{eqnarray*} \cos (x)=\sqrt{1-\sin^2 (x)} \end{eqnarray*}$
Unter einsatz dieser Beziehung formt man um

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin^2 (x)}{x^2(1+\sqrt{1-\sin^2 (x)}} \end{eqnarray*}$

Unter Einsatz des bekannten Grenzwertes von $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ und dem Grenzwert eines Produkts von Funktionen deren Grenzwert jeweils existiert (ist hier gegeben) erhält man das gewünschte Ergebnis.

22.07.2005, 08:51

DummeFrage

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War die Erweiterung bei der 1 so gemeint :

$\begin{eqnarray*} \frac{\tan(2x) * \frac{2}{2}}{\sin(x)} * \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = \frac{ 2 * \frac{\tan(2x)}{2x}}{\frac{\sin(x)}{x}} \end{eqnarray*}$
?

Ist danach dann tan(2x) / 2x = 1 ? Bei sin(x) / x weiss ich, dass es so ist, aber was ist mit dem tangens ?

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22.07.2005, 08:55

Egal

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Man kann Tangens ja mit Sinus und Kosinus ausdrücken dann erhält man Produkt zweier Funktionen deren Grenzwert existiert und schon hast du das $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan(2x)}{2x}=1 \end{eqnarray*}$

22.07.2005, 09:07

Schlauchsteher

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@Egal :
Ich kann nicht nur deine erwähnte Beziehung nirgends finden, ich kann sie auch gar nicht nachvollziehen unglücklich

unglücklich

Den Vorzeichenfehler in der Kontrollrechnung hab ich mir beim Abtippen in latex geholt ... Hier auf meinem Blatt steht auch sin(x) und nicht -sin(x).

22.07.2005, 09:09

Egal

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$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \Rightarrow \cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$
Das erste sollte dir eigentlich schon bekannt sein sonst wirds jetzt natürlich schwierig.

22.07.2005, 09:25

Schlauchsteher

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Doch, das die beiden Quadrate addiert = 1 sind, das hätte ich wissen müssen.
Es so umzuformen wäre mir allerdings nicht eingefallen.

Deine Rechnung verstehe ich dann leider immernoch nicht und den Grenzwert aus dem, was du da im Nenner stehen hast kann ich leider auch nicht ziehen.

Geht das denn nicht einfacher ? traurig

traurig

22.07.2005, 09:29

Egal

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Hast du denn mal versucht das einzusetzen? Und im Nenner erkennt man doch womit erweitert wurde. Probier das doch erstmal aus.
Den Grenzwert kriegt man wie beschrieben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin^2 (x)}{x^2(1+\sqrt{1-\sin^2 (x)}}=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\sin(x)}{x}\cdot \frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac{1}{1+\sqrt{1-\sin^2 (x)}}\right) \end{eqnarray*}$

23.07.2005, 09:47

Schlauchsteher

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Manchmal muss ich scheinbar einfach mal nen Tag lang runter vom Schlauch und schon klappts wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt hab ich verstanden, was du mir sagen wolltest Egal.
Irgendwie hab ich das gestern nicht gesehen. Die Umformung des cosinus in den Wurzelausdruck kann man sich aber auch sparen.

Damit ich nicht wieder einen Denkfehler reinbringe hier nochmal für die Doofen (Ja, damit meine ich mich selbst traurig

traurig

) ganz ausführlich :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{(x^2)(1+\cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos(x))^2}{x^2(1+\cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos(x)}= \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{1}{1+\cos(x)}= 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Bitte sag mir jetzt einer, dass das gestimmt hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.07.2005, 09:52

Egal

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Das sieht gut aus denke ich.

23.07.2005, 09:54

Schlauchsteher

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Meine Güte, du bist aber auch immer hier Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Hilfe. Manchmal brauch ich einfach etwas länger ...

23.07.2005, 10:02

babelfish

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Zitat:

Original von Schlauchsteher
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{(x^2)(1+\cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos(x))^2}{x^2(1+\cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos(x)} \end{eqnarray*}$

der zwischenschritt stimmt doch so noch nicht, oder?

$\begin{eqnarray*} (1-cos(x))*(1+cos(x)) \end{eqnarray*}$ ist doch 3. bin. formel, also
$\begin{eqnarray*} =1^2-cos(x)^2=1-cos(x)^2 \end{eqnarray*}$
das steht ja auch ganz rechts, aber

$\begin{eqnarray*} 1-cos(x)^2\neq(1-cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

oder hab ich jetzt was übersehen?! verwirrt

verwirrt

23.07.2005, 10:02

Egal

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Ich nehm das mal als Lob. Aber ich kann dich beruhigen. Immer bin ich nicht hier nur wenn ich sonst eh nix besseres zu tun hab.

Nein hast du natürlich völlig recht. Das in der Mitte hab ich ob des schönen Anfangs und Endes leider übersehen als ich gesagt hab das sieht gut aus.

Ist natürlich die 3. binomische Formel und nicht wie in der Mitte die 2.

Edit: Sorry fürs Doppelpost aber selbst zuzsammenführen kann ich leider nicht.

edit: Dann mach ich's. Augenzwinkern

Augenzwinkern

(MSS)

23.07.2005, 10:16

Schlauchsteher

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Ups.

$\begin{eqnarray*} (1-\cos(x))^2 = 1^2 - 2 \cdot \cos(x) + \cos^2(x) \end{eqnarray*}$

Das wollte ich jetzt da eigentlich nicht stehen haben ...

Also dann doch besser die Klammer streichen und $\begin{eqnarray*} 1^2 - \cos^2(x) \end{eqnarray*}$ schreiben.

Danke für den Hinweis.
Hätt ichs doch nur nicht versucht so ausfürlich zu schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

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